高考数学大一轮复习 第五章 平面向量 5.3 平面向量的数量积及其应用学案 文 北师大版-北师大版高三全册数学学案

§5.3 平面向量的数量积最新考纲考情考向分析1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系．3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.主要考查利用数量积的定义解决数量积的运算、射影、求模与夹角等问题，考查利用数量积的坐标表示求两个向量的夹角、模以及判断两个平面向量的平行与垂直关系．一般以选择题、填空题的形式考查，偶尔会在解答题中出现，属于中档题.1．向量的夹角已知两个非零向量 a 和 b，作OA＝a，OB＝b，则∠ AOB 就是向量 a 与 b 的夹角，向量夹角的范围是[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量 a，b 的夹角为 θ，则|a||b|·cos θ 叫作 a 与 b 的数量积，记作 a·b射影|a|cos θ 叫作向量 a 在 b 方向上的射影，|b|cos θ 叫作向量 b 在 a 方向上的射影几何意义a·b 的数量积等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的射影|b|cos θ 的乘积3.平面向量数量积的性质设 a，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ 为 a 与 b(或 e)的夹角．则(1)e·a＝a·e＝|a|cos θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当 a 与 b 同向时，a·b＝|a||b|；当 a 与 b 反向时，a·b＝－|a||b|.特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.(4)cos θ＝.(5)|a·b|≤|a||b|.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ 为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝x1x2＋ y 1y2，由此得到(1)若 a＝(x，y)，则|a|2＝x 2 ＋ y 2 或|a|＝.(2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 A，B 两点间的距离|AB|＝|AB|＝.(3)设两个非零向量 a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋ y 1y2＝ 0 .(4)若 a，b 都是非零向量，θ 是 a 与 b 的夹角，则 cos θ＝＝ .知识拓展1．两个向量 a，b 的夹角为锐角⇔a·b>0 且 a，b 不共线；两个向量 a，b 的夹角为钝角⇔a·b<0 且 a，b 不共线．2．平面向量数量积运算的常用公式(1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.(3)(a－b)2＝a2－2a·b＋b2.题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)向量在另一个向量方向上的射影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个...