1,数列通项公式得十种求法:(1)公式法(构造公式法)例 1 已知数列满足,,求数列得通项公式。解:两边除以,得,则,故数列就是以为首项,以为公差得等差数列,由等差数列得通项公式,得,所以数列得通项公式为。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,说明数列就是等差数列,再直接利用等差数列得通项公式求出,进而求出数列得通项公式。(2)累加法例 2 已知数列满足,求数列得通项公式。解:由得则所以数列得通项公式为。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,进而求出,即得数列得通项公式。变式:已知数列满足,求数列得通项公式。(3)累乘法例 3 已知数列满足,求数列得通项公式。解:因为,所以,则,故所以数列得通项公式为评注:本题解题得关键就是把递推关系转化为,进而求出,即得数列得通项公式。变式:已知数列满足,求得通项公式。(4)待定系数法例 4 已知数列满足,求数列得通项公式。解:设④将代入④式,得,等式两边消去,得,两边除以,得代入④式得⑤由及⑤式得,则,则数列就是以为首项,以 2 为公比得等比数列,则,故。评注:本题解题得关键就是把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。变式:①已知数列满足,求数列得通项公式。②已知数列满足,求数列得通项公式。(5)对数变换法例 5 已知数列满足,,求数列得通项公式。解:因为,所以。在式两边取常用对数得⑩设将⑩式代入式,得,两边消去并整理,得,则,故代入式,得 由及式,得,则,所以数列就是以为首项,以 5 为公比得等比数列,则,因此则。评注:本题解题得关键就是通过对数变换把递推关系式转化为,从而可知数列就是等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。(6)数学归纳法例 6 已知数列满足,求数列得通项公式。解:由及,得由此可猜想,往下用数学归纳法证明这个结论。(1)当时,,所以等式成立。(2)假设当时等式成立,即,则当时,由此可知,当时等式也成立。根据(1),(2)可知,等式对任何都成立。评注:本题解题得关键就是通过首项与递推关系式先求出数列得前 n 项,进而猜出数列得通项公式,最后再用数学归纳法加以证明。(7)换元法例 7 已知数列满足,求数列得通项公式。解:令,则故,代入得即因为,故则,即,可化为,所以就是以为首项,以为公比得等比数列,因此,则,即,得。评注:本题解题得关键就是通过将得换元为,使得所给递推关系式转化形式,从而可知数列为等比数列,进而求出数列得通项公式,最后再求出数列得通项公式。(8)不动点法例 8...
