（山东专用）2021新高考数学一轮复习 第八章 平面解析几何 8.7.2 定点、定值、探究性问题学案（含解析）-人教版高三全册数学学案

第 2 课时 定点、定值、探究性问题 考点一 定点问题【例 1】 (2019·北京卷)已知抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)．(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程；(2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直线 y＝－1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点．【解】 (1)由抛物线 C：x2＝－2py 经过点(2，－1)，得 p＝2.所以抛物线 C 的方程为 x2＝－4y，其准线方程为 y＝1.(2)证明：抛物线 C 的焦点为 F(0，－1)．设直线 l 的方程为 y＝kx－1(k≠0)．由得 x2＋4kx－4＝0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x2＝－4.直线 OM 的方程为 y＝x.令 y＝－1，得点 A 的横坐标 xA＝－.同理得点 B 的横坐标 xB＝－.设点 D(0，n)，则DA＝(－，－1－n)，DB＝(－，－1－n)，DA·DB＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.令DA·DB＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，得 n＝1 或 n＝－3.综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，－3)．方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系，找到定点.2特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.已知椭圆＋＝1(a>b>0)过点(0,1)，其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列．直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q，P，与椭圆分别交于点 M，N，各点均不重合且满足PM＝λ1MQ，PN＝λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程；(2)若 λ1＋λ2＝－3，试证明：直线 l 过定点，并求此定点．解：(1)设椭圆的焦距为 2c，由题意知 b＝1，且(2a)2＋(2b)2＝2(2c)2，又 a2＝b2＋c2，∴a2＝3.∴椭圆的标准方程为＋y2＝1.(2)由题意设 P(0，m)，Q(x0,0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，设 l 方程为 x＝t(y－m)，由PM＝λ1MQ知(x1，y1－m)＝λ1(x0－x1，－y1)，∴y1－m＝－y1λ1，由题意 y1≠0，∴λ1＝－1.同理由PN＝λ2NQ知 λ2＝－1. λ1＋λ2＝－3，∴y1y2＋m(y1＋y2)＝0，①联立得(t2＋3)y2－2mt2y＋t2m2－3＝0，∴由题意知Δ＝4m2t4－4(t2＋3)(t2m2－3)>0，②且有 y1＋y2＝，y1y2＝，③③ 代入①得 t2m2－3＋2m2t2＝0，∴(mt)2＝1，由题意 mt<0，∴mt＝－1，满足②，得直线 l 的方程为 x＝ty＋1，过定点(1,0)，即 Q 为定点．...