第 2 课时 定点、定值、探究性问题 考点一 定点问题【例 1】 (2019·北京卷)已知抛物线 C:x2=-2py 经过点(2,-1).(1)求抛物线 C 的方程及其准线方程;(2)设 O 为原点,过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M,N,直线 y=-1 分别交直线 OM,ON 于点 A 和点 B.求证:以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定点.【解】 (1)由抛物线 C:x2=-2py 经过点(2,-1),得 p=2.所以抛物线 C 的方程为 x2=-4y,其准线方程为 y=1.(2)证明:抛物线 C 的焦点为 F(0,-1).设直线 l 的方程为 y=kx-1(k≠0).由得 x2+4kx-4=0.设 M(x1,y1),N(x2,y2),则 x1x2=-4.直线 OM 的方程为 y=x.令 y=-1,得点 A 的横坐标 xA=-.同理得点 B 的横坐标 xB=-.设点 D(0,n),则DA=(-,-1-n),DB=(-,-1-n),DA·DB=+(n+1)2=+(n+1)2=+(n+1)2=-4+(n+1)2.令DA·DB=0,即-4+(n+1)2=0,得 n=1 或 n=-3.综上,以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0,-3).方法技巧圆锥曲线中定点问题的两种解法1引进参数法:引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量,再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.2特殊到一般法:根据动点或动线的特殊情况探索出定点,再证明该定点与变量无关.已知椭圆+=1(a>b>0)过点(0,1),其长轴、焦距和短轴的长的平方依次成等差数列.直线 l 与 x 轴正半轴和 y 轴分别交于点 Q,P,与椭圆分别交于点 M,N,各点均不重合且满足PM=λ1MQ,PN=λ2NQ.(1)求椭圆的标准方程;(2)若 λ1+λ2=-3,试证明:直线 l 过定点,并求此定点.解:(1)设椭圆的焦距为 2c,由题意知 b=1,且(2a)2+(2b)2=2(2c)2,又 a2=b2+c2,∴a2=3.∴椭圆的标准方程为+y2=1.(2)由题意设 P(0,m),Q(x0,0),M(x1,y1),N(x2,y2),设 l 方程为 x=t(y-m),由PM=λ1MQ知(x1,y1-m)=λ1(x0-x1,-y1),∴y1-m=-y1λ1,由题意 y1≠0,∴λ1=-1.同理由PN=λ2NQ知 λ2=-1. λ1+λ2=-3,∴y1y2+m(y1+y2)=0,①联立得(t2+3)y2-2mt2y+t2m2-3=0,∴由题意知Δ=4m2t4-4(t2+3)(t2m2-3)>0,②且有 y1+y2=,y1y2=,③③ 代入①得 t2m2-3+2m2t2=0,∴(mt)2=1,由题意 mt<0,∴mt=-1,满足②,得直线 l 的方程为 x=ty+1,过定点(1,0),即 Q 为定点....