第九讲 函数与方程ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一 函数的零点1．函数零点的定义对于函数 y＝f(x)(x∈D)，把使 f ( x ) ＝ 0 成立的实数 x 叫做函数 y＝f(x)(x∈D)的零点．注：函数的零点不是点．是函数 f(x)与 x 轴交点的横坐标，而不是 y＝f(x)与 x 轴的交点．2．几个等价关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点.3．函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数 y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有 f ( a ) f ( b ) ＜ 0 ，那么函数 y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f ( c ) ＝ 0 ，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根．知识点二 二分法1．对于在区间[a，b]上连续不断且 f ( a ) f ( b )<0 的函数 y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．2．给定精确度 ε，用二分法求函数 f(x)零点近似值的步骤如下：(1)确定区间[a，b]，验证 f(a)·f(b)<0，给定精确度 ε；(2)求区间(a，b)的中点 c；(3)计算 f(c)；① 若 f(c)＝0，则 c 就是函数的零点；② 若 f(a)·f(c)<0，则令 b＝c(此时零点 x0∈(a，c))；③ 若 f(c)·f(b)<0，则令 a＝c(此时零点 x0∈(c，b))．(4)判断是否达到精确度 ε，即：若|a－b|<ε，则得到零点近似值 a(或 b)；否则重复(2)(3)(4)．1．有关函数零点的结论(1)若连续不断的函数 f(x)在定义域上是单调函数，则 f(x)至多有一个零点．(2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号．(3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号．(4)由函数 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点不一定能推出 f(a)·f(b)<0，如图所示．所以 f(a)·f(b)<0 是 y＝f(x)在闭区间[a，b]上有零点的充分不必要条件．事实上，只有当函数图象通过零点(不是偶个零点)时，函数值才变号，即相邻两个零点之间的函数值同号．(5) 若 函 数 f(x) 在 [a ， b] 上 单 调 ， 且 f(x) 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ， 则f(a)·f(b)<0⇒函数 f(x)在[a，b]上只有一个零点．2．二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象与 x 轴的交点(x...
