第四讲 函数的奇偶性与周期性ZHI SHI SHU LI SHUANG JI ZI CE知识梳理·双基自测 知识点一 函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x都有 f ( － x ) ＝ f ( x ) ，那么函数 f(x)是偶函数都有 f ( － x ) ＝－ f ( x ) ，那么函数 f(x)是奇函数图象特征关于 y 轴 对称关于原点对称知识点二 函数的周期性1．周期函数对于函数 y＝f(x)，如果存在一个非零常数 T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有f ( x ＋ T ) ＝ f ( x ) ，那么就称函数 y＝f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期．2．最小正周期如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x)的最小正周期．1．奇(偶)函数定义的等价形式(1)f(－x)＝f(x)⇔f(－x)－f(x)＝0⇔＝1(f(x)≠0)⇔f(x)为偶函数；(2)f(－x)＝－f(x)⇔f(－x)＋f(x)＝0⇔＝－1(f(x)≠0)⇔f(x)为奇函数．2．对 f(x)的定义域内任一自变量的值 x，最小正周期为 T(1)若 f(x＋a)＝－f(x)，则 T＝2|a|；(2)若 f(x＋a)＝，则 T＝2|a|；(3)若 f(x＋a)＝f(x＋b)，则 T＝|a－b|.3．函数图象的对称关系(1)若函数 f(x)满足关系 f(a＋x)＝f(b－x)，则 f(x)的图象关于直线 x＝对称；(2)若函数 f(x)满足关系 f(a＋x)＝－f(b－x)，则 f(x)的图象关于点(，0)对称．4．一些重要类型的奇偶函数(1)函数 f(x)＝ax＋a－x为偶函数，函数 f(x)＝ax－a－x为奇函数；(2)函数 f(x)＝＋为奇函数；(3)函数 f(x)＝loga 为奇函数；(4)函数 f(x)＝loga(x＋)为奇函数．题组一 走出误区1．(多选题)下列结论正确的为( BCD )A．若函数 f(x)是奇函数，则必有 f(0)＝0B．若函数 y＝f(x＋a)是偶函数，则函数 y＝f(x)的图象关于直线 x＝a 对称C．若函数 y＝f(x＋b)是奇函数，则函数 y＝f(x)的图象关于点(b,0)中心对称D．2π 是函数 f(x)＝sin x，x∈(－∞，0)的一个周期题组二 走进教材2．(必修 1P35例 5 改编)函数 f(x)＝x2－1，f(x)＝x3，f(x)＝x2＋cosx，f(x)＝＋|x|中，偶函数的个数是 2.3．(必修 1P45T6 改编)若奇函数 f(x)在区间[a，b]上是减函数，则它在[－b，－a]上是减函数；若偶函数 f(x)在区间[a，b]上是增函数，则它在[－b，－a]上是减函数．4．(必修 4P46T10 改编)已知函数 f(x)满足 f(x＋3)＝f(x)，当 x∈[0,1]时，f(x)＝log3(x2＋3)，则 f(2019)＝1.题组三 考题再...
