第 42 讲 基本不等式及其应用考试要求 1
基本不等式的证明过程(A 级要求)；2
利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C 级要求)
应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题
诊 断 自 测1
思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当 a≥0，b≥0 时，≥
( )(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的
( )(3)函数 y＝x＋的最小值是 2
( )(4)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为 2
( )(5)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件
( )解析 (2)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式≥成立的条件是 a≥0，b≥0
(3)函数 y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值
(4)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为－5
(5)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充分条件
答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2
(教材改编)设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________
解析 x>0，y>0，∴≥，即 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81
答案 813
(教材改编)若 00，即 a>1，b>1 时才成立；③＝|x|＋≥2＝4，当且仅当 x＝±2 时“＝”成立
答案 ①③知 识 梳 理1
基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0
(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号
(3)适用于求含两个代数式的最值
几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)
(2)＋≥2(a，b 同号)
(3)ab≤，(a，b∈R)
(4)≥(a，b∈R)
(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为 a＝b
算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b
