第 42 讲 基本不等式及其应用考试要求 1.基本不等式的证明过程(A 级要求)；2.利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题(C 级要求).应关注利用基本不等式把等式转化为不等式，然后研究最值问题.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)当 a≥0，b≥0 时，≥.( )(2)两个不等式 a2＋b2≥2ab 与≥成立的条件是相同的.( )(3)函数 y＝x＋的最小值是 2.( )(4)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为 2.( )(5)x＞0 且 y＞0 是＋≥2 的充要条件.( )解析 (2)不等式 a2＋b2≥2ab 成立的条件是 a，b∈R；不等式≥成立的条件是 a≥0，b≥0.(3)函数 y＝x＋值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞)，没有最小值.(4)函数 f(x)＝sin x＋的最小值为－5.(5)x>0 且 y>0 是＋≥2 的充分条件.答案 (1)√ (2)× (3)× (4)× (5)×2.(教材改编)设 x>0，y>0，且 x＋y＝18，则 xy 的最大值为________.解析 x>0，y>0，∴≥，即 xy≤＝81，当且仅当 x＝y＝9 时，(xy)max＝81.答案 813.(教材改编)若 00，故＝·≤·＝，当且仅当 x＝时，上式等号成立.∴0<≤.答案 4.(必修 5P106 习题 16 改编)已知正数 x，y 满足 x＋2y＝1，那么＋的最小值为____________.解析 因为 x>0，y>0，x＋2y＝1，所以＋＝(x＋2y)＝1＋2＋＋≥3＋2＝3＋2，当且仅当 x2＝2y2时取得最小值 3＋2.答案 3＋25.(教材改编)① 若 x∈(0，π)，则 sin x＋≥2；②若 a，b∈(0，＋∞)，则 lg a＋lg b≥2；③若 x∈R，则≥4.其中正确结论的序号是________.解析 ①因为 x∈(0，π)，所以 sin x∈(0，1]，所以①成立；② 只有在 lg a>0，lg b>0，即 a>1，b>1 时才成立；③＝|x|＋≥2＝4，当且仅当 x＝±2 时“＝”成立.答案 ①③知 识 梳 理1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0.(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号.(3)适用于求含两个代数式的最值.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2 ab (a，b∈R).(2)＋≥2(a，b 同号).(3)ab≤，(a，b∈R).(4)≥(a，b∈R).(以上不等式要根据条件合理选择其中之一)以上不等式等号成立的条件均为 a＝b.3.算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问...
