第 43 讲 不等式恒成立问题考试要求 1.不等式包含两个元的情况(C 级要求)；2.不等式恒成立问题涉及一元二次不等式、线性规划、基本不等式恒成立问题.解决问题的本质是转化成求最值问题.诊 断 自 测1.设 y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若 t 在[－2，2]上变化时 y 恒取正值，则实数 x 的取值范围为________.解析 设 f(t)＝y＝(log2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1， t∈[－2，2]，问题转化为：f(t)＞0 对 t∈[－2，2]恒成立 ⇔⇔⇒0＜x＜或 x＞8.故实数 x 的取值范围是∪(8，＋∞).答案 ∪(8，＋∞)2.不等式＜1 对一切实数 x 恒成立，则实数 m 的取值范围为________.解析 由 4x2＋6x＋3＝＋＞0，对一切实数 x 恒成立，从而原不等式等价于2x2＋2mx＋m＜4x2＋6x＋3(x∈R)，即 2x2＋(6－2m)x＋(3－m)＞0 对一切实数 x 恒成立.则 Δ＝(6－2m)2－8(3－m)＜0， 解得 1＜m＜3，故实数 m 的取值范围是(1，3).答案 (1，3)3.(一题多解)已知 f(x)＝＞0 在 x∈上恒成立，则实数 a 的取值范围为________.解析 法一 f(x)＝＞0 对 x∈恒成立⇔ x2＋2x＋a＞0 对 x∈恒成立.设 g(x)＝ x2＋2x＋a，x∈，问题转化为：g(x)min＞0g(x)＝ x2＋2x＋a＝(x＋1)2＋a－1, x∈，∴g(x)在上是增函数.∴g(x)min＝g(1)＝3＋a，∴ 3＋a＞0⇔ a＞－3.即所求实数 a 的取值范围为(－3，＋∞).法二 f(x)＝＞0 对 x∈恒成立⇔ x2＋2x＋a＞0 对 x∈恒成立⇔ a＞－(x2＋2x)对 x∈恒成立设 φ(x)＝ －(x2＋2x)，x∈.问题转化为：a＞φ(x)max.φ(x)＝ －(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1，x∈.∴φ(x)在上是减函数.∴ φ(x)max＝ φ(1)＝－3，∴ a＞－3，即所求实数 a 的取值范围为(－3，＋∞).答案 (－3，＋∞)4.若定义在(0，＋∞)的函数 f(x)满足 f(x)＋f(y)＝f(xy)，且 x>1 时不等式 f(x)<0 成立，若不等式 f()≤f()＋f(a)对于任意 x，y∈(0，＋∞)恒成立，则实数 a 的取值范围是________.解析 设 01，有 f <0.这样 f(x2)－f(x1)＝f －f(x1)＝f ＋f(x1)－f(x1)＝f <0，则 f(x2)0，所以 a 的取值范围是(0，].答案 (0，]知 识 梳 理1.恒成立问题转化成最值处理a＞f(x)对 x∈D 恒成立⇔a＞f(x)max，a＜f(x)对 x∈D 恒成立⇔ a＜f(x)mi...
