第 3 讲 基本不等式及其应用高考定位 高考对本内容的考查主要有(1)基本不等式的证明过程，A 级要求；(2)利用基本不等式解决简单的最大(小)值问题，C 级要求.真 题 感 悟1.(2017·江苏卷)某公司一年购买某种货物 600 吨，每次购买 x 吨，运费为 6 万元/次，一年的总存储费用为 4x 万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 x 的值是________.解析 一年的总运费与总存储费用之和为 y＝6×＋4x＝＋4x≥2＝240，当且仅当＝4x，即x＝30 时，y 有最小值 240.答案 302.(2018· 江 苏 卷 ) 在 △ ABC 中 ， 角 A ， B ， C 所 对 的 边 分 别 为 a ， b ， c ， ∠ ABC ＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，且 BD＝1，则 4a＋c 的最小值为________.解析 因为∠ABC＝120°，∠ABC 的平分线交 AC 于点 D，所以∠ABD＝∠CBD＝60°，由三角形的面积公式可得 acsin 120°＝a×1×sin 60°＋c×1×sin 60°，化简得 ac＝a＋c，又 a>0，c>0，所以＋＝1，则 4a＋c＝(4a＋c)·＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当 c＝2a 时取等号，故 4a＋c 的最小值为 9.答案 93.(2016·江苏卷)已知函数 f(x)＝2x＋，若对于任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，则实数 m 的最大值为________.解析 由条件知 f(2x)＝22x＋2－2x＝(2x＋2－x)2－2＝(f(x))2－2. f(2x)≥mf(x)－6 对于 x∈R 恒成立，且 f(x)>0，∴m≤对于 x∈R 恒成立.又＝f(x)＋≥2＝4，且＝4，∴m≤4，故实数 m 的最大值为 4.答案 44.(2016·江苏卷)在锐角三角形 ABC 中，若 sin A＝2sin Bsin C，则 tan Atan Btan C 的最小值是________.解析 因为 sin A＝2sin Bsin C，所以 sin(B＋C)＝2sin Bsin C，所以 sin Bcos C＋cos Bsin C＝2sin Bsin C，等式两边同时除以 cos Bcos C，得 tan B＋tan C＝2tan Btan C.又因为 tan A＝－tan(B＋C)＝，所以 tan Atan Btan C－tan A＝2tan Btan C，即 tan Btan C(tan A－2)＝tan A.因为 A，B，C 为锐角，所以 tan A，tan B，tan C>0，且 tan A>2，所以 tan Btan C＝，所以原式＝.令 tan A－2＝t(t>0)，则＝＝＝t＋＋4≥8，当且仅当 t＝2，即 tan A＝4 时取等号.故 tan Atan Btan C 的最小值为 8.答案 8考 点 整 合1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0；(2)等号成立的条件...
