（江苏专用）高考数学二轮复习 专题六 概率、统计、复数、算法、推理与证明 高考热点追踪（六）学案 文 苏教版-苏教版高三全册数学学案

高考热点追踪(六) “交融”在本质高考对复数要求不高，但仍是常考内容．纵观各地模拟试题，复数知识时常与其他知识交融在一起，这些试题从形式上看很“新”，但是不是很难呢？我们如何去分析解决呢？请同学们看下面三个例题． (2019·南京模拟)已知 O 为坐标原点，向量OZ1，OZ2分别对应复数 z1，z2，且 z1＝＋(10－a2)i，z2＝＋(2a－5)i(a∈R)，若 1＋z2是实数．(1)求实数 a 的值；(2)求以OZ1，OZ2为邻边的平行四边形的面积．【解】 (1)因为 1＋z2＝－(10－a2)i＋＋(2a－5)i＝＋(a2＋2a－15)i 是实数，所以 a2＋2a－15＝0．所以 a＝3，a＝－5(舍去)．故 a＝3．(2)由(1)知，z1＝＋i，z2＝－1＋i，所以OZ1＝，OZ2＝(－1，1)，所以|OZ1|＝，|OZ2|＝，cos〈OZ1，OZ2〉＝＝＝ ．所以 sin〈OZ1，OZ2〉＝＝，所以 S▱＝|OZ1||OZ2|sin〈OZ1，OZ2〉＝××＝．所以平行四边形的面积为．[名师点评] 在复平面内，如果复数变量按照某种条件变化，那么对应动点就构成具有某种特征的点的集合或轨迹，这种数形有机结合使复数问题和向量问题构成了天然联系． 已知 a，b，c，d∈R，对于复数 z＝a＋bi，有 z(4－i)是纯虚数，(z＋2)(1－4i) 是实数，且函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d 在 x＝0 处有极值－2．(1)求 f(x)的单调区间；(2)是否存在整数 m，使得方程 f(x)＝0 在区间(m，m＋1)内有且仅有一个实数根．若存在，求出所有 m 的值，若不存在，请说明理由．【解】 (1)因为 z(4－i)＝(4a＋b)＋(－a＋4b)i 是纯虚数，(z＋2)(1－4i)＝(a＋4b＋2)－(4a－b＋8)i 是实数，且 a，b∈R，所以解得又因为 f(x)在 x＝0 处有极值－2，所以 f′(0)＝0，f(0)＝－2，得到 c＝0，d＝－2，所以 f(x)＝－x3＋4x2－2，则 f′(x)＝－3x2＋8x＝－3x，f′(x)>0⇔0．所以 f(x)的单调递增区间是，单调递减区间是(－∞，0)和．(2)由(1)知：当 x＝0 时，f(x)有极小值－2<0；当 x＝时，f(x)有极大值>0，而当 x→－∞时，f(x)→＋∞，当 x→＋∞时，f(x)→－∞，则方程 f(x)＝0 在 f(x)的三个单调区间(－∞，0)，，上必各有且仅有一个根．因为 f(1)＝1>0，f(0)<0，所以方程 f(x)＝0 在(0，1)上有且仅有一个实数根，同理可得方程 f(x)＝0 在(3，4)，(－1，0)上有且仅有一个实数根．则 m 的值为 0，3 和－1．[名师点评] 本题是复数问题与导数问题交汇在一起考查，实际我们只需要利用复数的有关概念求出 a...