第 3 讲计数原理及二项式定理、数学归纳法高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)分类加法计数原理、分步乘法计数原理，B 级要求；(2)排列与组合，B 级要求；(3)二项式定理，B 级要求；(4)数学归纳法的简单应用，B 级要求.真 题 感 悟1.(2018·江苏卷)设 n∈N*，对 1，2，…，n 的一个排列 i1i2…in，如果当 sit，则称(is，it)是排列 i1i2…in的一个逆序，排列 i1i2…in的所有逆序的总个数称为其逆序数.例如：对 1，2，3 的一个排列 231，只有两个逆序(2，1)，(3，1)，则排列 231 的逆序数为 2.记 fn(k)为 1，2，…，n 的所有排列中逆序数为 k 的全部排列的个数.(1)求 f3(2)，f4(2)的值；(2)求 fn(2)(n≥5)的表达式(用 n 表示).解 (1) 记 τ(abc) 为 排 列 abc 的 逆 序 数 ， 对 1 ， 2 ， 3 的 所 有 排 列 ， 有 τ(123) ＝0，τ(132)＝1，τ(213)＝1，τ(231)＝2，τ(312)＝2，τ(321)＝3，所以 f3(0)＝1，f3(1)＝f3(2)＝2.对 1，2，3，4 的排列，利用已有的 1，2，3 的排列，将数字 4 添加进去，4 在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，f4(2)＝f3(2)＋f3(1)＋f3(0)＝5.(2)对一般的 n(n≥4)的情形，逆序数为 0 的排列只有一个：12…n，所以 fn(0)＝1.逆序数为 1 的排列只能是将排列 12…n 中的任意相邻两个数字调换位置得到的排列，所以fn(1)＝n－1.为计算 fn＋1(2)，当 1，2，…，n 的排列及其逆序数确定后，将 n＋1 添加进原排列，n＋1 在新排列中的位置只能是最后三个位置.因此，fn＋1(2)＝fn(2)＋fn(1)＋fn(0)＝fn(2)＋n.当 n≥5 时，fn(2)＝[fn(2)－fn－1(2)]＋[fn－1(2)－fn－2(2)]＋…＋[f5(2)－f4(2)]＋f4(2)＝(n－1)＋(n－2)＋…＋4＋f4(2)＝.因此，当 n≥5 时，fn(2)＝.2.(2016·江苏卷)(1)求 7C－4C 的值；(2)设 m，n∈N*，n≥m，求证：(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋nC＋(n＋1)C＝(m＋1)C.(1)解 7C－4C＝7×20－4×35＝0.(2)证明 对任意的 m，n∈N*，n≥m，① 当 n＝m 时，左边＝(m＋1)C＝m＋1，右边＝(m＋1)C＝m＋1，原等式成立.② 假设 n＝k(k≥m)时命题成立.即(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＝(m＋1)C，当 n＝k＋1 时，左边＝(m＋1)C＋(m＋2)C＋(m＋3)C＋…＋kC＋(k＋1)C＋(k＋2)C＝(m＋1)C＋(k＋2)C，右边＝(m＋1)C.而(m＋1)C－(m＋1)C＝(m＋1)＝(m＋1)×[(k＋3)－(k－m＋1)]＝(k＋2)...
