第 1 讲 函数与导数应用题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)函数模型及其应用，B 级要求；(2)导数在实际问题中的应用，B 级要求.真 题 感 悟 (2015·江苏卷)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路和山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为l1，l2，山区边界曲线为 C，计划修建的公路为 l.如图所示，M，N 为 C 的两个端点，测得点 M 到 l1，l2的距离分别为 5 km 和 40 km，点 N 到 l1，l2的距离分别为 20 km 和 2.5 km，以 l2，l1所在的直线分别为 x，y 轴，建立平面直角坐标系 xOy，假设曲线 C 符合函数 y＝(其中 a，b 为常数)模型.(1)求 a，b 的值；(2)设公路 l 与曲线 C 相切于点 P，点 P 的横坐标为 t.① 请写出公路 l 长度的函数解析式 f(t)，并写出其定义域；② 当 t 为何值时，公路 l 的长度最短？求出最短长度.解 (1)由题意知，点 M，N 的坐标分别为(5，40)，(20，2.5).将其分别代入 y＝，得解得(2)① 由(1)知，y＝(5≤x≤20)，则点 P 的坐标为.设在点 P 处的切线 l 交 x，y 轴分别于点 A，B，因为 y′＝－，则直线 l 的方程为 y－＝－(x－t)，由此得 A，B，故 f(t)＝＝，t∈[5，20].② 设 g(t)＝t2＋，则 g′(t)＝2t－.令 g′(t)＝0，解得 t＝10.当 t∈(5，10)时，g′(t)<0，g(t)单调递减；当 t∈(10，20)时，g′(t)>0，g(t)单调递增.所以当 t＝10 时，函数 g(t)有极小值，也是最小值，g(t)min＝300，此时 f(t)min＝15.答：当 t＝10 时，公路 l 的长度最短，最短长度为 15 km.考 点 整 合1.常见函数模型(1)一次函数模型：f(x)＝ax＋b(a≠0)；(2)反比例函数模型：f(x)＝＋b(k≠0)；(3)二次函数模型：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)；(4)指数函数模型：f(x)＝bax＋c(b≠0，a＞0 且 a≠1)；(5)对数函数模型：f(x)＝blogax＋c(b≠0，a＞0 且 a≠1)；(6)幂函数模型：f(x)＝axn＋b(a≠0).2.利用导数研究函数的单调性、极值与最值在解决生活中的优化问题时应用广泛，但要注意结合实际意义(比如定义域问题)作答.热点一 函数模型在实际问题中的应用【例 1】 (1)(2018·南京、盐城模拟)用长度为 24 的材料围一矩形场地，并用该材料在中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为________.(2)某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入.若该公司 2015 年全年...
