第 3 讲 解析几何中的定点、定值与最值、范围问题高考定位 解析几何中的综合问题包括：探索性问题、定点与定值问题、范围与最值问题等，一般试题难度较大.这类问题以直线和圆锥曲线的位置关系为载体，以参数处理为核心，需要综合运用函数与方程、不等式、平面向量等诸多知识以及数形结合、分类讨论等多种数学思想方法进行求解，对考生的代数恒等变形能力、计算能力等有较高的要求.真 题 感 悟 (2017·江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆 E：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，离心率为，两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上，且位于第一象限，过点F1作直线 PF1的垂线 l1，过点 F2作直线 PF2的垂线 l2.(1)求椭圆 E 的标准方程；(2)若直线 l1，l2的交点 Q 在椭圆 E 上，求点 P 的坐标.解 (1)设椭圆的半焦距为 c.因为椭圆 E 的离心率为，两准线之间的距离为 8，所以＝，＝8，解得 a＝2，c＝1，于是 b＝＝，因此椭圆 E 的标准方程是＋＝1.(2)由(1)知，F1(－1，0)，F2(1，0).设 P(x0，y0)，因为 P 为第一象限的点，故 x0>0，y0>0.当 x0＝1 时，l2与 l1相交于 F1，与题设不符.当 x0≠1 时，直线 PF1的斜率为，直线 PF2的斜率为.因为 l1⊥PF1，l2⊥PF2，所以直线 l1的斜率为－，直线 l2的斜率为－，从而直线 l1的方程：y＝－(x＋1)，①直线 l2的方程：y＝－(x－1).②由①②，解得 x＝－x0，y＝，所以 Q.因为点 Q 在椭圆上，由对称性，得＝±y0，即 x－y＝1 或 x＋y＝1.又 P 在椭圆 E 上，故＋＝1.由解得 x0＝，y0＝；无解.因此点 P 的坐标为.考 点 整 合1.定值、定点问题必然是在变化中所表现出来的不变的量，那么就可以用变化的量表示问题中的直线方程、数量积、比例关系等，这些直线方程、数量积、比例关系不受变化的量所影响的一个点，就是要求的定点.解决这类问题的关键就是引进参数表示直线方程、数量积、比例关系等，根据等式的恒成立、数式变换等寻找不受参数影响的量.2.圆锥曲线中最值问题主要是求线段长度的最值、三角形面积的最值等.(1)椭圆中的最值F1，F2分别为椭圆＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P 为椭圆上的任意一点，B 为短轴的一个端点，O 为坐标原点，则有①OP∈[b，a]；②PF1∈[a－c，a＋c]；③PF1·PF2∈[b2，a2]；④∠F1PF2≤∠F1BF2.(2)双曲线中的最值F1，F2分别为双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点，P 为双曲线上的任一点，O ...
