第 2 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是 B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式(一般不单独设置试题)是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是 B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要同等重视.真 题 感 悟 1.(2017·江苏卷)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________.解析 f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0 且 f′(x)不恒为 0，所以 f(x)为单调递增函数.又 f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数，由 f(a－1)＋f(2a2)≤0，得 f(2a2)≤f(1－a)，∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，故实数 a 的取值范围是.答案 2.(2018·江苏卷)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________.解析 f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，则 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝1，所以此时 f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意.当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>，由 f′(x)<0 得 00，f(x)单调递增，当 x∈(0，1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减，则 f(x)max＝f(0)＝1，f(－1)＝－4，f(1)＝0，则 f(x)min＝－4，所以 f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为－3.答案 －33.(2017·江苏卷)已知函数 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有极值，且导函数 f′(x)的极值点是 f(x)的零点.(极值点是指函数取极值时对应的自变量的值)(1)求 b 关于 a 的函数关系式，并写出定义域；(2)证明：b2>3a；(3)若 f(x)，f′(x)这两个函数的所有极值之和不小于－，求 a 的取值范围.(1)解 由 f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，得 f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝3＋b－.当 x＝－时，f′(x)有极小值 b－.因为 f′(x)的极值点是 f(x)的零点，所以 f＝－＋－＋1＝0，又 a>0，故 b＝＋.因为 f(x)有极值，故 f′(x)＝0 有实根，从而 b－＝(27－a3)≤0，即 a≥3.当 a＝3 时，f′...
