第 2 讲 导数与函数的单调性、极值、最值问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的运算是导数应用的基础，要求是 B 级，熟练掌握导数的四则运算法则、常用导数公式(一般不单独设置试题)是解决导数应用的第一步；(2)利用导数研究函数的单调性与极值是导数的核心内容，要求是 B 级，对应用导数研究函数的单调性与极值要同等重视
真 题 感 悟 1
(2017·江苏卷)已知函数 f(x)＝x3－2x＋ex－，其中 e 是自然对数的底数，若 f(a－1)＋f(2a2)≤0，则实数 a 的取值范围是________
解析 f′(x)＝3x2－2＋ex＋≥3x2－2＋2＝3x2≥0 且 f′(x)不恒为 0，所以 f(x)为单调递增函数
又 f(－x)＝－x3＋2x＋e－x－ex＝－(x3－2x＋ex－)＝－f(x)，故 f(x)为奇函数，由 f(a－1)＋f(2a2)≤0，得 f(2a2)≤f(1－a)，∴2a2≤1－a，解之得－1≤a≤，故实数 a 的取值范围是
(2018·江苏卷)若函数 f(x)＝2x3－ax2＋1(a∈R)在(0，＋∞)内有且只有一个零点，则f(x)在[－1，1]上的最大值与最小值的和为________
解析 f′(x)＝6x2－2ax＝2x(3x－a)(a∈R)，当 a≤0 时，f′(x)>0 在(0，＋∞)上恒成立，则 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又 f(0)＝1，所以此时 f(x)在(0，＋∞)内无零点，不满足题意
当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x>，由 f′(x)0，故 b＝＋
因为 f(x)有极值，故 f′(x)＝0 有实根，从而 b－＝(27－a3)≤0，即 a≥3
当 a＝3 时，f′
