第 3 讲 导数与函数的切线及函数零点问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是 B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点.真 题 感 悟(2016·江苏卷)已知函数 f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1).(1)设 a＝2，b＝.① 求方程 f(x)＝2 的根；② 若对任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，求实数 m 的最大值；(2)若 0＜a＜1，b＞1，函数 g(x)＝f(x)－2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值.解 (1)① 由已知可得 2x＋＝2，即 2x＋＝2.∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得 2x＝1，∴x＝0.②f(x)＝2x＋＝2x＋2－x，令 t＝2x＋2－x，则 t≥2.又 f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，故 f(2x)≥mf(x)－6 可化为 t2－2≥mt－6，即 m≤t＋，又 t≥2，t＋≥2＝4(当且仅当 t＝2 时等号成立)，∴m≤＝4，即 m 的最大值为 4.(2) 0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0.g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2，g′(x)＝axln a＋bxln b 且 g′(x)为单调递增，值域为 R 的函数.∴g′(x)一定存在唯一的变号零点，∴g(x)为先减后增且有唯一极值点.由题意 g(x)有且仅有一个零点，则 g(x)的极值一定为 0，而 g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为 0.∴g′(0)＝0，即 ln a＋ln b＝0，∴ab＝1.考 点 整 合1.求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f′(x0)，由点斜式写出方程.(2)已知切线的斜率为 k，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，通过方程 k＝f′(x0)解得 x0，再由点斜式写出方程.(3)已知切线上一点(非切点)，求 y＝f(x)的切线方程：设切点 P(x0，y0)，利用导数求得切线斜率 f′(x0)，再由斜率公式求得切线斜率，列方程(组)解得 x0，再由点斜式或两点式写出方程.2.三次函数的零点分布三次函数在存在两个极值点的情况下，由于当 x→∞时，函数值也趋向∞，只要按照极值与零的大小关系确定其零点的个数即可.存在两个极值点 x1，x2且 x1＜x2的函数 f(x)＝ax3＋bx2＋cx＋d(a≠0)的零点分布情况如下：a 的符号零点个数充要条件a＞0(f(x1)为极大值，f(x2)为极小值)一个f(x1)＜0 或 f(x2)>0两个f(x1)＝0 或 f(x2)＝0三个f(x1)＞0 且 f(x2)＜0a＜0(f(x1)为极小值，f(x2)为极...
