第 3 讲 导数与函数的切线及函数零点问题高考定位 高考对本内容的考查主要有：(1)导数的几何意义是考查热点，要求是 B 级，理解导数的几何意义是曲线上在某点处的切线的斜率，能够解决与曲线的切线有关的问题；(2)在高考试题导数压轴题中涉及函数的零点问题是高考命题的另一热点
真 题 感 悟(2016·江苏卷)已知函数 f(x)＝ax＋bx(a＞0，b＞0，a≠1，b≠1)
(1)设 a＝2，b＝
① 求方程 f(x)＝2 的根；② 若对任意 x∈R，不等式 f(2x)≥mf(x)－6 恒成立，求实数 m 的最大值；(2)若 0＜a＜1，b＞1，函数 g(x)＝f(x)－2 有且只有 1 个零点，求 ab 的值
解 (1)① 由已知可得 2x＋＝2，即 2x＋＝2
∴(2x)2－2·2x＋1＝0，解得 2x＝1，∴x＝0
②f(x)＝2x＋＝2x＋2－x，令 t＝2x＋2－x，则 t≥2
又 f(2x)＝22x＋2－2x＝t2－2，故 f(2x)≥mf(x)－6 可化为 t2－2≥mt－6，即 m≤t＋，又 t≥2，t＋≥2＝4(当且仅当 t＝2 时等号成立)，∴m≤＝4，即 m 的最大值为 4
(2) 0＜a＜1，b＞1，∴ln a＜0，ln b＞0
g(x)＝f(x)－2＝ax＋bx－2，g′(x)＝axln a＋bxln b 且 g′(x)为单调递增，值域为 R 的函数
∴g′(x)一定存在唯一的变号零点，∴g(x)为先减后增且有唯一极值点
由题意 g(x)有且仅有一个零点，则 g(x)的极值一定为 0，而 g(0)＝a0＋b0－2＝0，故极值点为 0
∴g′(0)＝0，即 ln a＋ln b＝0，∴ab＝1
考 点 整 合1
求曲线 y＝f(x)的切线方程的三种类型及方法(1)已知切点 P(x0，y0)，求 y＝f(x)过点 P 的切线方程：求出切线的斜率 f′(x0)
