第 3 讲 平面向量及其运算高考定位 平面向量这部分内容在高考中的要求大部分都为 B 级，只有平面向量的应用为A 级要求，平面向量的数量积为 C 级要求.主要考查：(1)平面向量的基本定理及基本运算，多以熟知的平面图形为背景进行考查，填空题难度中档；(2)平面向量的数量积，以填空题为主，难度低；(3)向量作为工具，还常与三角函数、解三角形、不等式、解析几何等结合，以解答题形式出现.真 题 感 悟1.(2018·江苏卷)在平面直角坐标系 xOy 中，A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，B(5，0)，以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D.若AB·CD＝0，则点 A 的横坐标为________.解析 因为AB·CD＝0，所以 AB⊥CD，又点 C 为 AB 的中点，所以∠BAD＝45°.设直线 l 的倾斜角为 θ，直线 AB 的斜率为 k，则 tan θ＝2，k＝tan＝－3.又 B(5，0)，所以直线 AB的方程为 y＝－3(x－5)，又 A 为直线 l：y＝2x 上在第一象限内的点，联立直线 AB 与直线l 的方程，得所以点 A 的横坐标为 3.答案 32.(2017·江苏卷)如图，在同一个平面内，向量OA，OB，OC的模分别为 1，1，，OA与OC的夹角为 α，且 tan α＝7，OB与OC的夹角为 45°.若OC＝mOA＋nOB(m，n∈R)，则 m＋n＝________.解析 如图，设OD＝mOA，DC＝nOB，则在△ODC 中有 OD＝m，DC＝n，OC＝，∠OCD＝45°，由 tan α＝7，得cos α＝，又由余弦定理知①＋②得 4－2n－m＝0，即 m＝10－5n，代入①得 12n2－49n＋49＝0，解得 n＝或 n＝，当 n＝时，m＝10－5×＝－<0(不合题意，舍去)，当 n＝时，m＝10－5×＝，故 m＋n＝＋＝3.答案 33.(2016·江苏卷)如图，在△ABC 中，D 是 BC 的中点，E，F 是 AD 上的两个三等分点，BA·CA＝4，BF·CF＝－1，则BE·CE的值是________.解析 设AB＝a，AC＝b，则BA·CA＝(－a)·(－b)＝a·b＝4.又 D 为 BC 中点，E，F 为 AD 的两个三等分点，则AD＝(AB＋AC)＝a＋b，AF＝AD＝a＋b，AE＝AD＝a＋b，BF＝BA＋AF＝－a＋a＋b＝－a＋b，CF＝CA＋AF＝－b＋a＋b＝a－b，则BF·CF＝·＝－a2－b2＋a·b＝－(a2＋b2)＋×4＝－1.可得 a2＋b2＝.又BE＝BA＋AE＝－a＋a＋b＝－a＋b，CE＝CA＋AE＝－b＋a＋b＝a－b，则BE·CE＝·＝－(a2＋b2)＋a·b＝－×＋×4＝.答案 考 点 整 合1.平面向量的两个重要定理(1)向量共线定理：向量 a(a≠0)与 b 共线当且仅当存在唯一实数 λ，使 b＝λa.(2...
