第四节 多元复合函数得求导法则

第四节多元复合函数得求导法则要求:熟练地计算复合函数得一阶偏导数,会计算抽象函数得二阶偏导数计算。重点:各种类型复合函数得求导与计算。难点:抽象函数得二阶偏导数计算。作业:习题 8－4()一.多个中间变量,一个自变量情况定理 1 假如函数及都在点可导,且函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点可导,且其导数公式为 (全导数) 证明 设有增量,相应函数及得增量为,此时函数相应获得得增量为.又由于函数在点处可微,于就是由上节定理 3 证明有 这里,当时,,上式除以得 .当时,,,所以 ,即 . 此时,从形式上瞧就是全微分两端除以得到得,常将称为全导数.推论 若,,,复合而得复合函数满足定理条件,则有全导数公式 例 1.设函数,而,,求全导数.解 .二.多个中间变量,多个自变量情况定理 2 若及在点具有偏导数,而函数在对应点具有连续偏导数,则复合函数在点两个偏导数存在,且有公式 ; 例 2.设函数,而,,求. 解 .注意 为了帮助记忆,我们按各变量间得复合关系画出复合关系图如下:首先从自变量向中间变量画两个分枝,然后再分别从向自变量画分枝,并在每个分枝旁边写上对其得偏导数.求()时,我们只要把从到()得每条路径上得各偏导数相乘后,再将这些积相加即可得到 ,()推论 1、 设函数,,在点有偏导数,而函数在对应点偏导数连续,则复合函数在点得两个偏导数存在,且有公式 ;.推论 2、 设函数具有偏导数,而函数可微,则复合函数在点偏导数存在,且有公式 ; . 注意 与区别:就是把函数中得瞧成常数,对求偏导,就是把中瞧常数,对求偏导.前者就是复合后对得偏导数,后者就是复合前对得偏导数.例 3.设函数,而,求与.解 .例 4.设函数,而,求全导数.解 .例 5.设抽象函数,其中偏导数连续,求.解 ,其中,, 其中,.三.复合函数得二阶偏导数 若函数,,二阶偏导数连续,则复合函数 存在二阶偏导数.记号,,,.例 6.设复合函数,其中对具有二阶连续偏导数,求.解 .练习题 设函数,其中对具有二阶连续偏导数,求.() 复合函数求偏导数步骤: (1)搞清复合关系——画出复合关系图; (2)分清每步对哪个变量求导,固定了哪些变量;(3)对某个自变量求导,应注意要经过一切与该自变量有关得中间变量而最后归结到该自变量.例 7、设复合函数,且具有二阶连续偏导数,求,. 解 .例 8、设函数得所有二阶偏导数连续,把下列表达式转换为极坐标形式 (1) ;(2) 解 (1)直角坐标与极坐标关系,,则 这里瞧作由函数及,,复合而成得复合函数,按复合函数求导公式,得 , 其中 ;...