第二节等差数列及其前n项和————————————————————————————————[考纲传真]1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数的关系．1．等差数列的有关概念(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．用符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．2．等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d，an＝am＋(n－m)d.(2)前n项和公式：Sn＝na1＋＝.3．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.(3)若{an}是等差数列，公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d.(4)若{an}，{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．(5)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m…，(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(“√”“正确的打，错误的打×”)(1)若一个数列从第2项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．()(2)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.()(3)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．()(4)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．等差数列{an}的前n项和为Sn，且S3＝6，a3＝0，则公差d等于()A．－1B．1C．2D．－2D[依题意得S3＝3a2＝6，即a2＝2，故d＝a3－a2＝－2，故选D.]3．(2015·全国卷Ⅱ)设Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＋a3＋a5＝3，则S5＝()A．5B．7C．9D．11A[a1＋a3＋a5＝3a3＝3⇒a3＝1，S5＝＝5a3＝5.]4．(2016·全国卷Ⅰ)已知等差数列{an}前9项的和为27，a10＝8，则a100＝()A．100B．99C．98D．97C[法一： {an}是等差数列，设其公差为d，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.又 a10＝8，∴∴∴a100＝a1＋99d＝－1＋99×1＝98.故选C.法二： {an}是等差数列，∴S9＝(a1＋a9)＝9a5＝27，∴a5＝3.在等差数列{an}中，a5，a10，a15…，，a100成等差数列，且公差d′＝a10－a5＝8－3＝5.故a100＝a5＋(20－1)×5＝98.故选C.]5．(教材改编)在100以内的正整数中有__________个能被6整除的数．16[由题意知，能被6整除的数构成一个等差数列{an}，则a1＝6，d＝6，得an＝6＋(n－1)6＝6n.由an＝6n≤100，即n≤16＝16，则在100以内有16个能被6整除的数．]等差数列的基本运算(1)(2015·全国卷Ⅰ)已知{an}是公差为1的等差数列，Sn为{an}的前n项和，若S8＝4S4，则a10＝()A.B.C．10D．12(2)(2017·云南省二次统一检测)设等差数列{an}的前n项和为Sn，S11＝22，a4＝－12，若am＝30，则m＝()A．9B．10C．11D．15(1)B(2)B[(1) 公差为1，∴S8＝8a1＋×1＝8a1＋28，S4＝4a1＋6. S8＝4S4，∴8a1＋28＝4(4a1＋6)，解得a1＝，∴a10＝a1＋9d＝＋9＝.(2)设等差数列{an}的公差为d，依题意解得∴am＝a1＋(m－1)d＝7m－40＝30，∴m＝10.][规律方法]1.等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知三求二，体现了方程思想的应用．2．数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法，称为基本量法．[变式训练1](1)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且满足－＝1，则数列{an}的公差是()A.B．1C．2D．3(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，a12＝－8，S9＝－9，则S16＝__________.【导学号：31222176】(1)C(2)－72[(1) Sn＝，∴＝，又－＝1，得－＝1，即a3－a2＝2，∴数列{an}的公差为2.(2)设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由已知，得解得∴S16＝16×3＋×(－1)＝－72.]等差数列的判定与证明已知数列{an}中，a1＝，an＝2－(n≥2，n∈N*)，数列{bn}满足bn＝(n∈N*)．(1)求证：数列{bn}是等差数列．(2)求数列{an}中的通项公式an.[解](1)证明：因为an＝2－(n≥2...
