不规则几何体体积的求法(2页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。不规则几何体体积的求法当所给几何体形状不规则时，无法直接利用体积公式求解，可尝试用以下几种常用的方法求出原几何体的体积，下面逐一介绍，供同学们参考．一、等积转换法当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．例 1 在边长为 a 的正方体 ABCD—A1B1C1D1中，M，N，P分别是棱 A1B1，A1D1，A1A 上的点，且满足 A1M = A1B1，A1N=2ND1，A1P= A1A（如图 1），试求三棱锥 A1—MNP的体积．分析：若用公式 V= Sh 直接计算三棱锥 A1—MNP 的体积，则需要求出△MNP 的面积和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥 A1—MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥 P—A1MN 的体积，便能很容易的求出其高和底面△A1MN 的面积，从而代入公式求解．解：VA1-MNP =VA1—MNP = ·S△A1MN ·h = × ·A1M1·A1N·A1P=××a·a· a= a3． 评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到平面距离的一个理论依据．二、分割法分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时常常要用到分割法．例 2 如图 2，在三棱柱 ABC—A1B1C1中，E,F 分别为 AB,AC 的中点，平面 EB1C1F将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比．分析：截面 EB1C1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台AEF—A1B1C1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱柱的体积减去棱台的体积求得．解：设棱柱的底面积为 S，高为 h，其体积 V=Sh． 则三角形 AEF 的面积为 S． 由于 VAEF-A1B1C1=·h·(+S+)= Sh, 则剩余不规则几何体的体积为 V ́́́́′=V-VAEF-A1B1C1=Sh -Sh = Sh， 所以两部分的体积之比为 VAEF-A1B1C1：V ́́́́′=7：5. 评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．三、补形法某些空间几何体是某一个几何体的一部分，在解题时，把这个几何体通过“补形”补成完整的几何体或置于一个更熟悉的几何体中，巧妙地破解空间几何体的体积问题，这是一种重要的解题策略——补形法．常见的补形法有对称...
