第五节直线、平面垂直的判定及其性质[基础达标]一、选择题(每小题5分,共20分)1.(2015·衢州质检)已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,则下列命题正确的是()A.若α⊥β,m∥α,则m⊥βB.若m∥α,n∥β,且m∥n,则α∥βC.若m⊥β,α⊥β,则m∥αD.若m⊥α,n⊥β,且m⊥n,则α⊥β1.D【解析】若α⊥β,m∥α,则m,β平行、相交或者m⊂β,A错误;若m∥α,n∥β,m∥n,则α,β平行或相交,B错误;若m⊥β,α⊥β,则m∥α或m⊂α,C错误;由面面垂直的判定定理可知D正确.2.已知两个平面垂直,下列命题:①一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面内的任意一条直线.②一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面的无数条直线.③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面.④过一个平面内任意一点作交线的垂线,则此垂线必垂直于另一个平面.其中正确的个数是()A.3B.2C.1D.02.B【解析】由面面垂直的性质可知②④正确,①③错误,所以正确的个数是2.3.(2015·银川质检)若α,β是两个不同的平面,m为平面α内的一条直线,则“α⊥β”是“m⊥β”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.B【解析】若α⊥β,m⊂α,则m与β平行、相交或m⊂β都有可能,所以充分性不成立;若m⊥β,m⊂α,则α⊥β,必要性成立.4.(2015·济南模拟)类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的性质,可得出空间内的下列结论:①垂直于同一个平面的两条直线互相平行;②垂直于同一条直线的两条直线互相平行;③垂直于同一个平面的两个平面互相平行;④垂直于同一条直线的两个平面互相平行.则正确的结论是()A.①②B.②③C.③④D.①④4.D【解析】垂直于同一平面的两条直线互相平行;垂直于同一直线的两条直线可能平行、异面或相交;垂直于同一个平面的两个平面可能平行或相交;垂直于同一条直线的两个平面互相平行,因此其中正确的结论是①④.二、填空题(每小题5分,共10分)5.已知直线a,b和平面α,且a⊥b,a⊥α,则b与α的位置关系是.5.b∥α或b⊂α【解析】易知当b⊂α或b∥α时,a⊥α,都有a⊥b.6.α,β是两个不同的平面,m,n是平面α及β之外的两条不同的直线,给出四个论断:①m⊥n;②α⊥β;③n⊥β;④m⊥α.以其中三个论断作为条件,余下的一个论断作为结论,写出你认为正确的一个命题.6.②③④⇒①或①③④⇒②【解析】⇒m⊥n,⇒α⊥β,⇒/n⊥β,⇒/m⊥α.三、解答题(共25分)7.(12分)(2016·南京、盐城一模)如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,O,E分别为B1D,AB的中点.(1)求证:OE∥平面BCC1B1;(2)求证:平面B1DC⊥平面B1DE.7.【解析】(1)连接BC1,B1C,OE,设BC1∩B1C=F,连接OF,因为O,F分别是B1D与B1C的中点,所以OF∥DC,且OF=DC,又E为AB中点,所以EB∥DC,且EB=DC,从而OF∥EB,OF=EB,即四边形OEBF是平行四边形,所以OE∥BF,又OE⊄平面BCC1B1,BF⊂平面BCC1B1,所以OE∥平面BCC1B1.(2)因为DC⊥平面BCC1B1,BC1⊂平面BCC1B1,所以BC1⊥DC,又BC1⊥B1C,且DC,B1C⊂平面B1DC,DC∩B1C=C,所以BC1⊥平面B1DC,而BC1∥OE,所以OE⊥平面B1DC,又OE⊂平面B1DE,所以平面B1DC⊥平面B1DE.8.(13分)(2015·蚌埠质检)如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,PA=AD=1,AB=,点F是PD中点,点E是DC边上的任意一点.(1)当点E为DC边的中点时,判断EF与平面PAC的位置关系,并加以证明;(2)证明:无论点E在DC边的何处,都有AF⊥FE.8.【解析】(1)因为EF分别是CD,PD的中点,则EF是△PCD的中位线,EF∥PC.又因为EF⊄平面PAC,PC⊂平面PAC,EF∥平面PAC.(2)因为PA⊥底面ABCD,CD⊂平面ABCD,所以PA⊥CD,又因为CD⊥AD,所以CD⊥平面PAD,CD⊥AF.又因为PA=AD,点F是PD中点,所以AF⊥PD,从而AF⊥平面PCD,又因为EF⊂平面PCD,所以AF⊥EF.[高考冲关]1.(5分)(2015·杭州质检)已知ABC-A1B1C1是所有棱长均相等的直三棱柱,M是B1C1的中点,则下列命题正确的是()A.在棱AB上存在点N,使MN与平面ABC所成的角为45°B.在棱AA1上存在点N,使MN与平面BCC1B1所成的角为45°C.在棱AC上存在点N,使MN与AB1平行D.在棱BC上存在点N,使MN与AB1垂直1.B【解析】利用定理逐一判断.设该直三棱柱的棱长均为a,取BC的中点P,则MP⊥平面ABC,点N在棱AB上,若MN与平面ABC所成角为45°,即∠MNP=4...
