傅里叶变换性质证明(12 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。 2.6 傅里叶变换的性质 2.6.1 线性 若信号和的傅里叶变换分别为和， 则对于任意的常数 a 和 b，有 将其推广，若,则 其中为常数，n 为正整数。 由傅里叶变换的定义式很容易证明线性性质. 显然傅里叶变换也是一种线性运算，在第一章我们已经知道了，线性有两个含义：均匀性和叠加性。均匀性表明，若信号乘以常数 a，则信号的傅里叶变换也乘以相同的常数 a，即 叠加性表明，几个信号之和的傅里叶变换等于各个信号的傅里叶变换之和 2.6.2 反褶与共轭性 设 f(t)的傅里叶变换为，下面我们来讨论信号反褶、共轭以及既反褶又共轭后，新信号的傅里叶变换。 （1）反褶 f(-t)是 f(t)的反褶，其傅里叶变换为 （2）共轭 （3）既反褶又共轭 本性质还可利用前两条性质来证明： 设 g(t)=f(-t)，h(t)=g*(t)，则 在上面三条性质的证明中，并没有特别指明 f(t)是实函数还是复函数，因此,无论 f(t)为实信号还是复信号，其傅里叶变换都满足下面三条性质 2.6.3 奇偶虚实性 已知 f(t)的傅里叶变换为。在一般情况下，是复函数，因此可以把它表示成模与相位或者实部与虚部两部分，即 根据定义，上式还可以写成 下面根据 f(t)的虚实性来讨论 F()的虚实性。 (1) f(t)为实函数 对比式(2-33)与(2-34)，由 FT 的唯一性可得 （1.1）f(t)是实的偶函数，即 f(t)=f(-t) X( )的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时 X( )=0，于是 可见，若 f(t)是实偶函数，则 F()也是实偶函数，即 左边反褶，右边共轭 （1.2）f(t)是实的奇函数，即-f(t)=f(-t) R( )的积分项是奇函数，而奇函数在对称区间内的积分为零，故 这时 R( )=0，于是 可见，若 f(t)是实奇函数，则 F( )是虚奇函数，即 左边反褶，右边共轭有了上面这两条性质，下面我们来看看一般实信号（即可能既不是偶信号，又不是奇信号，反正不清楚，或者说是没有必要关怀信号的奇偶特性）的 FT 频谱特点。 2.6.4 对称性 傅里叶变换与傅里叶反变换之间存在着对称关系，称为傅里叶变换的对称性质。若已知 F( )=F[f(t)]则有 F[f(t)]=2лf(- ) 证明：因为 将变量 t 与互换，再将 2 乘过来，得 上式右边是傅里叶正变换定义式，被变换函数是 F(t) 所以 F[F(t)]=2лf(- ) 若 f(t)为偶信号，即 f(t)=f(-t)，则有 F[F(t)]=2f( ) 从上式...
