高考数学大一轮复习 第五篇 数列 第1节 数列的概念与简单表示法习题 理试题VIP免费

第五篇数列第1节数列的概念与简单表示法【选题明细表】知识点、方法题号观察法求通项公式1,7递推公式的应用2,3,5,6,11an与Sn的关系8,10数列的单调性、最值4综合问题9,12,13,14基础对点练(时间:30分钟)1.(2016·宜春校级模拟)已知数列,,,,,…,则5是它的(C)(A)第19项(B)第20项(C)第21项(D)第22项解析:数列,,,,,…,中的各项可变形为:,,,,,…,所以通项公式为an==,令=5,得n=21.2.数列{an}的前n项积为n2,那么当n≥2时,an等于(D)(A)2n-1(B)n2(C)(D)解析:设数列{an}的前n项积为Tn,则Tn=n2,当n≥2时,an==.故选D.3.(2016·河南许昌质检)若数列{an}中,a1=1,an+1=,则数列{an}的第4项是(C)(A)(B)(C)(D)解析:因为a1=1,an+1=,所以a2===,a3===,a4===.故选C.4.(2016·吉林模拟)已知数列{an},an=-2n2+λn,若该数列是递减数列,则实数λ的取值范围是(A)(A)(-∞,6)(B)(-∞,4](C)(-∞,5](D)(-∞,3]解析:数列{an}的通项公式是关于n(n∈N*)的二次函数,若数列是递减数列,则-<,即λ<6.故选A.5.(2016·安徽皖江名校联考)已知数列{an}的首项为2,且数列{an}满足an+1=,数列{an}的前n项的和为Sn,则S2016为(C)(A)504(B)588(C)-588(D)-504解析:因为a1=2,an+1=,所以a2=,a3=-,a4=-3,a5=2,…,所以数列{an}的周期为4,且a1+a2+a3+a4=-,因为2016÷4=504,所以S2016=504×(-)=-588.故选C.6.(2016·泰安模拟)已知数列{an}满足a1>0,且an+1=an,则数列{an}的最大项是(A)(A)a1(B)a9(C)a10(D)不存在解析:因为a1>0且an+1=an,所以an>0,=<1,所以an+11时,有an=Sn-Sn-1=an-an-1,整理得=.于是=,=,…=,=,又a1=1,将以上n个等式两端分别相乘,整理得an=.综上可知,数列{an}的通项公式an=.能力提升练(时间:15分钟)11.(2016·山东临沂模拟)已知数列{an}满足a1=0,an+1=(n∈N*),则a2016等于(C)(A)-3(B)0(C)(D)3解析:由题意知a1=0,a2==-,a3==,a4==0,a5==-,…,由此可知,an+3=an.又2016=3×671+3,所以a2016=a3=.故选C.12.(2016·邯郸一中模拟)已知数列{an}满足a1=60,an+1-an=2n(n∈N*),则的最小值为.解析:因为an+1-an=2n,所以当n≥2时有an-an-1=2(n-1),an-1-an-2=2(n-2),…a3-a2=2×2=4,a2-a1=2×1=2,又a1=60,累加得an=60+2+4+…+2(n-1)=n(n-1)+60=n2-n+60,所以==n+-1,令f(x)=x+(x>0),由函数性质可知,在区间(0,2)上单调递减,在区间(2,+∞)上单调递增,又n为正整数,当n=7时,=7+-1=,当n=8时,=8+-1=,又<,所以的最小值为.答案:13.导学号18702246已知数列{an}中,a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).(1)证明:数列{}为等差数列;(2)求数列{an}的通项公式an.(1)证明:因为a1=5且an=2an-1+2n-1(n≥2且n∈N*).所以设bn=,则b1==2.bn+1-bn=-=[(an+1-2an)+1]=[(2n+1-1)+1]=1,由此可知,数列{}为首项是2,公差是1的等差数列.(2)解:由(1)知,=2+(n-1)×1=n+1,an=(n+1)·2n+1.14.(2016·福建基地综合)已知数列{an}中,a1=3,a2=5,其前n项和Sn满足Sn+Sn-2=2Sn-1+2n-1(n≥3).(1)求数列{an}的通项公式;(2)若bn=log2,n∈N*,设数列{bn}的前n项和为Tn,当n为何值时,Tn有最大值?并求最大值.解:(1)由题意知Sn-Sn-1=Sn-1-Sn-2+2n-1(n≥3),即an=an-1+2n-1(n≥3),所以an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a3-a2)+a2=2n-1+2n-2+…+22+5=2n-1+2n-2+…+22+2+1+2=2n+1(n≥3),经检验,知n=1,2时,结论也成立,故an=2n+1.(2)bn=log2=log2=log228-2n=8-2n,n∈N*,当1≤n≤3时,bn=8-2n>0;当n=4时,bn=8-2n=0;当n≥5时,bn=8-2n<0.故n=3或n=4时,Tn有最大值,且最大值为T3=T4=12.好题天天练1.导学号18702247已知数列{an}满足条件a1+a2+a3+…+an=2n+5,则数列{an}的通项公式为(B)(A)an=2n+1(B)an=(C)an=2n(D)an=2n+2解析:由a1+a2+a3+…+an=2n+5,得a1+a2+a3+…+an-1=2(n-1)+5(n≥2),两式相减得=2n+5-2(n-1)-5=2,所以an=2n+1(n≥2,n∈N*),又当n=1时,=7,所以a1=14.综上可知,an=2.若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=.解题关键:证明{an}为等比数列.解析:当n=1时,a1=1;当n≥2时,an=Sn-Sn-1=an-an-1,故=-2,故an=(-2)n-1,当n=1时,也符合an=(-2)n-1,综上,an=(-2)n-1.答案:(-2)n-1