第四节数列的求和与综合应用[基础达标]一、选择题(每小题5分,共35分)1.数列1,(1+2),(1+2+22),…,(1+2+22+…+2n-1),…的前n项之和为()A.2n-1B.n·2n-nC.2n+1-nD.2n+1-n-21.D【解析】记an=1+2+22+…+2n-1=2n-1,∴Sn=-n=2n+1-2-n.2.(2016·福建长泰一中期中考试)设等差数列{an}的前n项和为Sn,a2,a4是方程x2-x-2=0的两个根,S5=()A.B.5C.-D.-52.A【解析】解法1:由题可知a2+a4=1,a2×a4=-2,得到a2=-1,a4=2,或a2=2,a4=-1,当a2=-1,a4=2时,d=,an=n-4,所以S5=5×,当a2=2,a4=-1时,d=-,an=-n+5,所以S5=5×.解法2:由已知得a2+a4=1,则S5=×1=.3.(2016·哈尔滨六中期中考试)已知正项数列{an}的通项公式为an=2n-2,若bn=log2an+3,则数列的前n项和Tn为()A.B.C.D.3.B【解析】由题可知bn=log2an+3=log22n-2+3=n+1,,则Tn=b1+b2+…+bn=+…+.4.(2016·荆州质检)数列{an}满足a1=2,an=2an-1(n∈N*,n>1),则数列{log2an}的前10项和S10=()A.55B.50C.45D.404.A【解析】由题可知an=2×2n-1=2n,所以log2an=log22n=n,即{log2an}为以1为首项,1为公差的等差数列,记cn=log2an,所以cn=n,所以S10==55.5.(2016·河北冀州中学月考)在等差数列{an}和等比数列{bn}中,有an=n,bn=2n-1,记cn=anbn,则数列{cn}的前n项和为()A.(n+1)×2n+1B.(n-1)×2n-1C.(n-1)×2n+1D.(n-1)×2n+1+15.C【解析】由cn=anbn=n·2n-1,记其前n项和为Tn,则Tn=c1+c2+c3+…+cn=1×20+2×21+3×22+…+n×2n-1①,两边同乘以2,得2Tn=1×21+2×22+3×23+…+(n-1)×2n-1+n×2n②,①-②得-Tn=1+21+22+23+…+2n-1-n×2n,化简得Tn=(n-1)×2n+1.6.现有200根相同的钢管,把它们堆成三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余的钢管为()A.9根B.10根C.19根D.29根6.B【解析】设堆成x层,得1+2+3+…+x≤200,即求使得x(x+1)≤400成立的最大正整数x,应为19.∴200-=10.7.(2016·江西师范大学附中、临川一中联考)已知Sn是等差数列{an}的前n项和,且S6>S7>S5,给出下列五个命题:①d<0;②S11>0;③S12<0;④数列{Sn}中的最大项为S11;⑤|a6|>|a7|.其中正确命题的个数是()A.5B.4C.3D.17.C【解析】由已知得S6-S5=a6>0,S7-S6=a7<0,S7-S5=a6+a7>0,则d=a7-a6<0,S11==11a6>0,S12==6(a6+a7)>0,a6>0,a7<0,a6+a7>0,则|a6|>|a7|,①②⑤正确.二、填空题(每小题5分,共10分)8.(2016·葫芦岛六校联考)若数列{an}的前n项和Sn=an+,则{an}的通项公式an=.8.(-2)n-1【解析】当n>1时,an=Sn-Sn-1=,化简得an=-2an-1,且a1=S1=a1+,解得a1=1,所以数列{an}是以1为首项,-2为公比的等比数列,则an=(-2)n-1.9.(2016·广东百校联考)已知数列{an}中,a1=2,当n≥2时,an=2an-1+3·2n-1,数列的前n项和为Sn,则不等式Sn<20的解集为.9.{1,2,3,4}【解析】当n≥2时,,令bn=,则数列{bn}是以b1=1为首项,公差为的等差数列,Sn=n+,由Sn<20得3n2+n-80<0,即(3n+16)(n-5)<0,所以n=1,2,3,4符合条件.三、解答题(共25分)10.(12分)已知数列{an}的前n项和是Sn,且Sn+an=1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=log3(1-Sn+1)(n∈N*),求适合方程+…+的正整数n的值.10.【解析】(1)n=1时,a1+a1=1,a1=,n≥2时,∴Sn-Sn-1=(an-1-an),∴an=an-1(n≥2),∴{an}是以为首项,为公比的等比数列,∴an=.(2)1-Sn=an=,bn=log3(1-Sn+1)=log3=-(n+1),∴,∴+…++…+.令,解得n=100.11.(13分)(2016·石家庄质检)已知Sn为公差不为0的等差数列{an}的前n项和,且a1=1,S1,S2,S4成等比数列.(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和.11.【解析】(1)由已知得=S1·S4,即a1(4a1+6d)=(2a1+d)2,可得2a1d=d2,又由a1=1,d≠0得d=2,故an=2n-1,n∈N*.(2)由已知可得bn=,Tn=+…+=+…+=,n∈N*.[高考冲关]1.(5分)(2016·江苏淮安、宿迁、连云港、徐州四市联考)已知数列{an}满足2an+1=an+an+2(n∈N*),且a1=2,a3+a5=-4.则数列{an}的前n项和Sn=()A.-n2+nB.-n2-nC.n2+nD.-2n2+n1.A【解析】2an+1=an+an+2,即an+2-an+1=an+1-an,所以数列{an}是等差数列.设数列{an}公差为d,则解得所以Sn=na1+·d=2n+=-n2+n.2.(5分)数列{an}的通项公式an=,它的前n项和为Sn=9,则n=.2.99【解析】an=,可得前n项和Sn=a1+a2+a3+…+an=-1++…+-1,又Sn=9,则n=99.3.(12分)(2016·岳阳联考)已知数列{an}的首项a...
