第一节数列的概念与简单表示法[基础达标]一、选择题(每小题5分,共30分)1.数列,…的一个通项公式为()A.an=B.an=C.an=D.an=1.C【解析】观察知an=.2.已知数列{an}满足a0=1,an=a0+a1+…+an-1(n≥1),则当n≥1时,an等于()A.2nB.n(n+1)C.2n-1D.2n-12.C【解析】由题设可知a1=a0=1,a2=a0+a1=2,代入四个选项检验可知an=2n-1.3.(2016·江西白鹭洲中学期中考试)已知点An(n,an)(n∈N)都在函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,则a4+a6与2a5的大小关系是()A.a4+a6<2a5B.a4+a6=2a5C.a4+a6>2a5D.a4+a6与2a5的大小与a有关3.C【解析】 点An(n,an)(n∈N)都在函数y=ax(a>0,a≠1)的图象上,∴an=an,则a4+a6=a4+a6≥2=2a5,当且仅当a4=a6时取等号, a>0,a≠1,∴a4≠a6,则a4+a6=a4+a6>2a5.4.(2016·广东汕头金山中学期中考试)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a1=-9,a2+a3=-12,则使Sn取得最小值时n的值为()A.2B.4C.5D.74.C【解析】由a2+a3=2a1+3d,所以由题可知-18+3d=-12⇒d=2,从而有Sn=-9n+×2=n2-10n=(n-5)2-25,所以当n=5时,Sn最小.5.(2015·衡水调研)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-1,则满足≤2的正整数n的集合为()A.{1,2}B.{1,2,3,4}C.{1,2,3}D.{1,2,4}5.B【解析】因为Sn=2an-1,所以当n≥2时,Sn-1=2an-1-1,两式相减,得an=2an-2an-1,整理得an=2an-1,所以{an}是公比为2的等比数列,又因为a1=2a1-1,解得a1=1,故{an}的通项公式为an=2n-1.而≤2,即2n-1≤2n,所以有n=1,2,3,4.6.(2016·哈尔滨六中期中考试)已知数列{an}满足1+log3an=log3an+1(n∈N*),a2+a4+a6=9,则lo(a5+a7+a9)=()A.-B.C.-5D.56.C【解析】由1+log3an=log3an+1(n∈N*)得an+1=3an(n∈N*),所以数列{an}为等比数列,且公比为3,因此由a2+a4+a6=9得a5+a7+a9=(a2+a4+a6)×q3=9×33=35,所以lo(a5+a7+a9)=lo35=-5.二、填空题(每小题5分,共10分)7.已知数列{an}的通项公式为an=sin+ncos,其前n项的和为Sn,则S3n=.7.【解析】 an=sin+ncos,又f(n)=sin+ncos是以T==3的周期函数,a1+a2+a3=+2×+0+3×1=,∴S3n=(a1+a2+a3)+(a4+a5+a6)+…+(a3n-2+a3n-1+a3n)=n(a1+a2+a3)=.8.数列{an}的项是由1或2构成,且首项为1,在第k个1和第k+1个1之间有2k-1个2,即数列{an}为:1,2,1,2,2,2,1,2,2,2,2,2,1,…,记数列{an}的前n项和为Sn,则S2015=.8.3985【解析】将数列整理成:(1,2),(1,2,2,2),(1,2,2,2,2,2),…,每组括号内的项数分别为2,4,6,8,10,…,第k组的项数为2k,且此时数列的总项数为=k2+k.令b1=a1+a2=3,b2=a3+a4+a5+a6=7,以此类推b3=11,…,有bn-bn-1=4,故bn=4n-1.记新数列{bn}的前n项和为Tn,则Tn=n(2n+1),当k=44时,数列的总项数为442+44=1980,而当k=45时,数列的总项数为2070,故数列第2015项在第45组第2015-1980=35项,S2015=T44+1+2×34=3985.[高考冲关]1.(5分)(2015·广东三校期末联考)已知数列{an}满足:a1=,对于任意的n∈N*,an+1=an(1-an),则a1413-a1314=()A.-B.C.-D.1.D【解析】a1=,a2=,a3=,a4=,….归纳可知当n为大于1的奇数时,an=;当n为正偶数时,an=.故a1413-a1314=.2.(5分)已知数列{2n-1·an}的前n项和Sn=9-6n,则数列{an}的通项公式是.2.an=【解析】当n=1时,20·a1=S1=3,∴a1=3.当n≥2时,2n-1·an=Sn-Sn-1=-6,∴an=-.∴通项公式an=3.(5分)(2014·辽宁高考)设等差数列{an}的公差为d,若数列{}为递减数列,则()A.d<0B.d>0C.a1d<0D.a1d>03.C【解析】由于数列{}是递减数列,则有,即a1an>a1an+1,那么有a1[a1+(n-1)d]>a1(a1+nd),整理可得a1d<0.4.(5分)(2016·桂林十八中月考)已知数列{an}的前n项和Sn=2an-2n+1,若不等式2n2-n-3<(5-λ)an对∀n∈N*恒成立,则整数λ的最大值为.4.4【解析】当n=1时,S1=2a1-22得a1=4,Sn=2an-2n+1;当n≥2时,Sn-1=2an-1-2n,两式相减得an=2an-2an-1-2n,得an=2an-1+2n,所以=1.又=2,所以数列是以2为首项,1为公差的等差数列,=n+1,即an=(n+1)·2n.因为an>0,所以不等式2n2-n-3<(5-λ)an,等价于5-λ>.记bn=,当n≥2时,,所以当n≥3时,<1,(bn)max=b3=,所以5-λ>,λ<5-,所以整数λ的最大值为4.5.(10分)(2016·江苏淮阴中学月考)已知数列{an}中,a1=1,在a1,a2之间插入1个数,在a2,a3之间插入2个数,在a3,a4之间插入3个数,…,在an,an+1之间插入n个数,使得所有插入的数和原数列{an}中的所有...
