勾股定理9种证明

勾股定理 9 种证明(有图)(6页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。勾股定理的 9 种证明（有图）【证法 1】（邹元治证明）以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于. 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上，B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. RtΔHAE ≌ RtΔEBF, ∴ ∠AHE = ∠BEF. ∠AEH + ∠AHE = 90º,∴ ∠AEH + ∠BEF = 90º.∴ ∠HEF = 180º―90º= 90º.∴ 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的正方形. 它的面积等于 c2. RtΔGDH ≌ RtΔHAE, ∴ ∠HGD = ∠EHA. ∠HGD + ∠GHD = 90º,∴ ∠EHA + ∠GHD = 90º.又 ∠GHE = 90º,∴ ∠DHA = 90º+ 90º= 180º.∴ ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于.∴ . ∴ .【证法 2】（梅文鼎证明）做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. 把它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. 过 C 作 AC 的延长线交 DF于点 P. D、E、F 在一条直线上, 且 RtΔGEF ≌ RtΔEBD,∴ ∠EGF = ∠BED， ∠EGF + ∠GEF = 90°，∴ ∠BED + ∠GEF = 90°，∴ ∠BEG =180º―90º= 90º.又 AB = BE = EG = GA = c，∴ ABEG 是一个边长为 c 的正方形. ∴ ∠ABC + ∠CBE = 90º. RtΔABC ≌ RtΔEBD,∴ ∠ABC = ∠EBD.∴ ∠EBD + ∠CBE = 90º. 即 ∠CBD= 90º.又 ∠BDE = 90º，∠BCP = 90º，BC = BD = a.∴ BDPC 是一个边长为 a 的正方形.同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形.设多边形 GHCBE 的面积为 S，则, ∴ . 【证法 3】（项明达证明）做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（b>a） ，斜边长为 c. 再做一个边长为 c 的正方形. 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在一条直线上.过点 Q 作 QP∥BC，交 AC 于点 P. 过点 B 作 BM⊥PQ，垂足为 M；再过点F 作 FN⊥PQ，垂足为 N. ∠BCA = 90º，QP∥BC，∴ ∠MPC = 90º， BM⊥PQ，∴ ∠BMP = 90º，∴ BCPM 是一个矩形，即∠MBC = 90º. ∠QBM + ∠MBA = ∠QBA = 90º，∠ABC + ∠MBA = ∠MBC ...