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双曲线的渐近线和离心率

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双曲线的渐近线和离心率(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精,善益求善。第 34 练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例 1 (2025·课标全国Ⅰ)已知双曲线 C:-=1(a>0,b>0)的离心率为,则 C 的渐近线方程为( )A.y=±x B.y=±xC.y=±x D.y=±x破题切入点 根据双曲线的离心率求出 a 和 b 的比例关系,进而求出渐近线.答案 C解析 由 e==知,a=2k,c=k(k∈R+),由 b2=c2-a2=k2,知 b=k.所以=.即渐近线方程为 y=±x.故选 C.题型二 双曲线的离心率问题例 2 已知 O 为坐标原点,双曲线-=1(a>0,b>0)的右焦点为 F,以 OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A,B,若(AO+AF)·OF=0,则双曲线的离心率 e 为( )A.2 B.3C. D.破题切入点 数形结合,画出合适图形,找出 a,b 间的关系.答案 C解析 如图,设 OF 的中点为 T,由(AO+AF)·OF=0 可知 AT⊥OF,又 A 在以 OF 为直径的圆上,∴A,又 A 在直线 y=x 上,∴a=b,∴e=.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例 3 已知 A(1,2),B(-1,2),动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点,则双曲线离心率的取值范围是________.破题切入点 先由直接法确定点 P 的轨迹(为一个圆),再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系,进一步列出关于离心率 e 的不等式进行求解.答案 (1,2)解析 设 P(x,y),由题设条件,得动点 P 的轨迹为(x-1)(x+1)+(y-2)·(y-2)=0,即 x2+(y-2)2=1,它是以(0,2)为圆心,1 为半径的圆.又双曲线-=1(a>0,b>0)的渐近线方程为 y=±x,即 bx±ay=0,由题意,可得>1,即>1,所以 e=<2,又 e>1,故 11 的条件,常用到数形结合.(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法.由 y=±x⇔±=0⇔-=0,所以可以把标准方程-=1(a>0,b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程.双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据,由于==,当 e 逐渐增大时,的值就逐渐增大,双曲线的“张口”就逐渐增大.1.已知双曲线-=1(a>0,b>0)以及双曲线-=1 的渐近线将第一象限三等分,则双曲线-=1 的离...

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