双曲线的渐近线和离心率VIP专享

双曲线的渐近线和离心率(10 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。第 34 练 双曲线的渐近线和离心率题型一 双曲线的渐近线问题例 1 (2025·课标全国Ⅰ)已知双曲线 C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则 C 的渐近线方程为( )A．y＝±x B．y＝±xC．y＝±x D．y＝±x破题切入点 根据双曲线的离心率求出 a 和 b 的比例关系，进而求出渐近线．答案 C解析 由 e＝＝知，a＝2k，c＝k(k∈R＋)，由 b2＝c2－a2＝k2，知 b＝k.所以＝.即渐近线方程为 y＝±x.故选 C.题型二 双曲线的离心率问题例 2 已知 O 为坐标原点，双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F，以 OF 为直径作圆与双曲线的渐近线交于异于原点的两点 A，B，若(AO＋AF)·OF＝0，则双曲线的离心率 e 为( )A．2 B．3C. D.破题切入点 数形结合，画出合适图形，找出 a，b 间的关系．答案 C解析 如图，设 OF 的中点为 T，由(AO＋AF)·OF＝0 可知 AT⊥OF，又 A 在以 OF 为直径的圆上，∴A，又 A 在直线 y＝x 上，∴a＝b，∴e＝.题型三 双曲线的渐近线与离心率综合问题例 3 已知 A(1,2)，B(－1,2)，动点 P 满足AP⊥BP.若双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线与动点 P 的轨迹没有公共点，则双曲线离心率的取值范围是________．破题切入点 先由直接法确定点 P 的轨迹(为一个圆)，再由渐近线与该轨迹无公共点得到不等关系，进一步列出关于离心率 e 的不等式进行求解．答案 (1,2)解析 设 P(x，y)，由题设条件，得动点 P 的轨迹为(x－1)(x＋1)＋(y－2)·(y－2)＝0，即 x2＋(y－2)2＝1，它是以(0,2)为圆心，1 为半径的圆．又双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为 y＝±x，即 bx±ay＝0，由题意，可得>1，即>1，所以 e＝<2，又 e>1，故 11 的条件，常用到数形结合．(2)在求双曲线的渐近线方程时要掌握其简易求法．由 y＝±x⇔±＝0⇔－＝0，所以可以把标准方程－＝1(a>0，b>0)中的“1”用“0”替换即可得出渐近线方程．双曲线的离心率是描述双曲线“张口”大小的一个数据，由于＝＝，当 e 逐渐增大时，的值就逐渐增大，双曲线的“张口”就逐渐增大．1．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)以及双曲线－＝1 的渐近线将第一象限三等分，则双曲线－＝1 的离...