高中数学：2.3 双曲线 素材3 苏教版选修2—1

妙用双曲线的焦半径 双曲线上任意一点到其焦点的距离称为该点的焦半径．已知点00()M xy，在双曲线22221(00)xyabab，上，12FF，分别为双曲线的左、右焦点，10MFaex，20MFaex．同理，焦点在 y 轴上的双曲线22221(00)yxabab，的焦半径为10MFaey，20MFaey，其中双曲线的焦点自下至上为12FF，．例 1 已知12FF，是双曲线22221xyab（00ab，）的两焦点，以线段12FF，为边作正三角形12MF F ，若边1MF 的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（ ） Ａ．42 3Ｂ． 31Ｃ．312Ｄ． 31 解：如图，1MF 的中点为()PPP xy，，则 P 点的横坐标2Pcx ，1PFc ，又由焦半径公式1PPFexa，得2cccaa ，得22220caac ，有2220ee ， 解得13e  （13e  舍去），故选（D）． 点评：利用焦半径建立关系式，得出关于 e 的方程，从而获解． 例 2 经过双曲线2213yx 的右焦点2F 作倾斜角为30 的直线，与双曲线交于 A、Ｂ两点，1F 为左焦点，求1F AB△的周长． 解：由双曲线方程，得1a  ，3b ，2c  ，2e  ． 设1122()()A xyB xy，，，，则 AB 的方程为3 (2)3yx．用心 爱心 专心 于是22133 (2)3yxyx，，，消去 y，得284130xx ． 由根与系数的关系可求得21332xx． ∴2213133ABxx． 11()AFexa，12BFexa， ∴11213 3AFBFe xx． ∴1F AB△的周长为33 3． 点评： AB 的长度的求法是利用了弦长公式2121dkxx． 例 3 在双曲线2211213yx的上支上有三点1133()( 26 6)()A xyBC xy，，，，，与(0 5)F， 的距离成等差数列．求证： AC 的垂直平分线经过某一定点． 证明：1AFeya，2BFeya（2y 是Ｂ点的纵坐标），3CFeya．由已知，得2 BFAFCF， 整理，得132212yyy． 设 AC 的中点0(6)M x ， ，其中1302xxx． 又 AC，两点在双曲线上，于是22112233131212 13131212 13.yxyx， 两式相减整理，得31313113yyxxxx．∴0213ACxk． ∴ AC 的垂直平分线方程为00136()2yxxx，用心 爱心 专心 即013(225)0xxy ，经过点250 2，．证得原命题成立． 点评：利用焦半径，借助点差法，将 AC 垂直平...