各类范数定义(4 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。范数的定义 设 X 是数域 K 上线性空间，称║˙║为 X 上的范数(norm)，若它满足： 1. 正定性：║x║≥0，且║x║=0 <=> x=0； 2. 齐次性：║cx║=│c│║x║； 3. 次可加性(三角不等式)：║x+y║≤║x║+║y║ 。 注意到║x+y║≤║x║+║y║中如令 y=-x，再利用║-x║=║x║可以得到║x║≥0，即║x║≥0 在定义中不是必要的。 假如线性空间上定义了范数，则称之为赋范线性空间。 注记：范数与内积，度量，拓扑是相互联系的。 1. 利用范数可以诱导出度量：d(x,y)=║x-y║，进而诱导出拓扑，因此赋范线性空间是度量空间。 但是反过来度量不一定可以由范数来诱导。 2. 假如赋范线性空间作为(由其范数自然诱导度量 d(x,y)=║x-y║的)度量空间是完备的，即任何柯西(Cauchy)序列在其中都收敛，则称这个赋范线性空间为巴拿赫(Banach)空间。 3. 利用内积<˙,˙>可以诱导出范数：║x║=^{1/2}。 反过来，范数不一定可以由内积来诱导。当范数满足平行四边形公式║x+y║^2+║x-y║^2=2(║x║^2+║y║^2)时，这个范数一定可以由内积来诱导。 完备的内积空间成为希尔伯特(Hilbert)空间。 4. 假如去掉范数定义中的正定性，那么得到的泛函称为半范数(seminorm 或者叫准范数)，相应的完备空间称为 Fréchet 空间。 对于 X 上的两种范数║x║α,║x║β，若存在正常数 C 满足 ║x║β≤C║x║α 那么称║x║β 弱于║x║α。假如║x║β 弱于║x║α 且║x║α 弱于║x║β，那么称这两种范数等价。 可以证明，有限维空间上的范数都等价，无限维空间上至少有阿列夫 1(实数集的基数)种不等价的范数。 算子范数 假如 X 和 Y 是巴拿赫空间，T 是 X->Y 的线性算子，那么可以按下述方式定义║T║： ║T║ = sup{║Tx║：║x║<=1} 根据定义容易证明║Tx║ <= ║T║║x║。 对于多个空间之间的复合算子，也有║XY║ <= ║X║║Y║。 假如一个线性算子 T 的范数满足║T║ < +∞，那么称 T 是，否则称 T 是无界线性算子。 比如，在常用的范数下，积分算子是有界的，微分算子是无界的。 容易证明，有限维空间的所有线性算子都有界。 有限维空间的范数 基本性质 有限维空间上的范数具有良好的性质，主要体现在以下几个定理： 性质 1：对于有限维赋范线性空间的任何一组基，范数是元素(在这组基...
