高考数学二轮复习 大题规范天天练 第二周 综合限时练试题VIP免费

星期六(综合限时练)解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内得高分，限时：80分钟)1．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的各项互不相等，前两项的和为10，设m＝(a1，a3)，n＝(a3，a7)，且m∥n.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，其前n项和是Tn，求Tn＜.解(1)因为向量m＝(a1，a3)，n＝(a3，a7)，且m∥n，所以a1a7－a＝0，即a1a7＝a.依题意，可设等差数列{an}的公差为d(d≠0)，则有解得或(舍去)．故所求an＝2n＋2.(2)由(1)知an＝2n＋2＝2(n＋1)，所以bn＝＝，所以Tn＝2×＋3×＋4×＋…＋(n＋1)×，则Tn＝2×＋3×＋…＋n×＋(n＋1)×，两式相减，得Tn＝2×＋＋＋…＋－(n＋1)×＝＋－(n＋1)×＝－，整理得Tn＝－，故Tn＜.2．(本小题满分12分)某家电产品受在保修期内维修费等因素的影响，企业生产每件的利润与该产品首次出现故障的时间有关，某厂家生产甲、乙两种品牌，保修期均为2年．现从该厂已售出的两种品牌家电中各随机抽取50件，统计数据如下：品牌甲乙首次出现故障时间x(年)0＜x≤11＜x≤2x＞20＜x≤2x＞2数量(件)2345545每件利润(百元)1231.82.9将频率视为概率，解答下列问题：(1)从该厂生产的甲、乙品牌产品中随机各抽取一件，求其至少有一件首次出现故障发生在保修期内的概率；(2)若该厂生产的家电均能售出，记生产一件甲品牌的利润为X1，生产一件乙品牌家电的利润为X2，分别求X1，X2的分布列；(3)该厂预计今后这两种品牌家电销量相当，由于资金限制，只能生产其中一种品牌的家电．若从经济从效益的角度考虑，你认为应生产哪种品牌的家电？说明理由．解(1)设“甲、乙品牌家电至少有一件首次出现故障发生在保修期内”为事件A，则P(A)＝1－×＝.(2)依题意，得X1的分布列为X1123P0.040.060.9X2的分布列为X21.82.9P0.10.9(3)由(2)得E(X1)＝1×0.04＋2×0.06＋3×0.9＝2.86(百元)，E(X2)＝1.8×0.1＋2.9×0.9＝2.79(百元)．因为E(X1)＞E(X2)，所以应生产甲品牌家电．3．(本小题满分12分)如图，已知直三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝AB＝AC＝1，AB⊥AC，M，N，Q分别是CC1，BC，AC的中点，点P在线段A1B1上运动．(1)证明：无论点P怎样运动，总有AM⊥平面PNQ；(2)是否存在点P，使得平面PMN与平面PNQ所成的锐二面角为45°？若存在，试确定点P的位置；若不存在，请说明理由．(1)证明连接A1Q， AA1＝AC＝1，M，Q分别是CC1，AC的中点，∴△AA1Q≌△CAM.∴∠MAC＝∠QA1A.∴∠MAC＋∠AQA1＝∠QA1A＋∠AQA1＝90°，即AM⊥A1Q，① N，Q分别是BC，AC的中点，∴NQ∥AB.又AB⊥AC，∴NQ⊥AC.在直三棱柱中，AA1⊥底面ABC，∴NQ⊥AA1. AC∩AA1＝A，∴NQ⊥平面ACC1A1，∴NQ⊥AM.②由①②及NQ∩A1Q＝Q，得AM⊥平面PNQ.(2)解设A1P＝λA1B1(λ∈[0，1])．如图，以A为原点建立空间直角坐标系，则A1(0，0，1)，B1(1，0，1)，M，N，Q.则有NM＝，AA1＝(0，0，1)，AN＝，A1P＝λA1B1＝λ(1，0，0)＝(λ，0，0)，AP＝AA1＋A1P＝(λ，0，1)，PN＝AN－AP＝.假设存在符合条件的点P，设n＝(x，y，z)是平面PMN的一个法向量．则由得令x＝3，得y＝1＋2λ，z＝2－2λ.∴n＝(3，1＋2λ，2－2λ)．而由(1)可知，平面PNQ的一个法向量为AM＝，∴|cos〈AM，n〉|＝＝，化简得16λ2－26λ＋19＝0，(*)Δ＝262－4×16×19＝－540＜0，所以方程(*)无解．综上所述，不存在点P，使得平面PMN与平面PNQ所成的锐二面角为45°.4．(本小题满分12分)已知椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的离心率是，A1，A2是椭圆E的长轴的两个端点(A2位于A1右侧)，B是椭圆在y轴正半轴上的顶点，点F是椭圆E的右焦点，点M是x轴上位于A2右侧的一点，且是与的等差中项，|FM|＝1.(1)求椭圆E的方程以及点M的坐标；(2)是否存在经过点(0，)且斜率为k的直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q，使得向量OP＋OQ与A2B共线？若存在，求出直线l的方程；如果不存在，请说明理由．解(1)设点F(c，0)，M(x，0)(x＞a)依题意得＋＝，可得＋＝，解得x＝.依题意|FM|＝1，即－c＝＝1，又因为＝，b2＝a2－c2，所以a＝，b＝c＝1.故椭圆的方程是＋y2＝1，点M的坐标是(2，0)．(2)由题知，直线l的方程为y＝kx＋，联立方程⇒x2＋2kx＋1＝0，由直线l与椭圆E交于不同的两点P和Q知Δ＝8k2－4＝4k2...