基本不等式教案习题

基本不等式教案习题(19 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。[备考方向要明了]考 什 么怎 么 考1.了解基本不等式的证明过程．2.会用基本不等式解决简单的最大(小)值问题.1.以选择题或填空题的形式考查基本不等式的应用，如比较大小、求最值等，如 2025 年福建 T5，湖南 T8等．2.在实际问题中和函数建模综合起来，考查基本不等式在求函数最值中的应用，如 2025 年江苏 T17 等.[归纳·知识整合]1．基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a >0 ， b >0 .(2)等号成立的条件：当且仅当 a ＝ b 时取等号．[探究] 1.如何理解基本不等式中“当且仅当”的含义？提示：①当 a＝b 时，≥取等号，即 a＝b⇒＝② 仅当 a＝b 时，≥取等号，即＝⇒a＝b.2．几个重要的不等式a2＋b2≥2 ab (a，b∈R)；＋≥2(a，b 同号)．ab≤2(a，b∈R)；2≤(a，b∈R)3．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它的几何平均数．4．利用基本不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)假如积 xy 是定值 P，那么当且仅当 x ＝ y 时，x＋y 有最小值是 2(简记：积定和最小)．(2)假如和 x＋y 是定值 P，那么当且仅当 x ＝ y 时，xy 有最大值是 2(简记：和定积最大)．[探究] 2.当利用基本不等式求最大(小)值时，等号取不到时，如何处理？提示：当等号取不到时，可利用函数的单调性等知识来求解．例如，y＝x＋在 x≥2 时的最小值，利用单调性，易知 x＝2 时 ymin＝.[自测·牛刀小试]1．已知 m>0，n>0，且 mn＝81，则 m＋n 的最小值为( )A．18 B．36C．81 D．243解析：选 A 因为 m>0，n>0，所以 m＋n≥2＝2＝18.2．若函数 f(x)＝x＋(x>2)在 x＝a 处取最小值，则 a＝( )A．1＋ B．1＋ C．3 D．4解析：选 C f(x)＝x＋＝x－2＋＋2， x>2 ∴x－2>0∴f(x)≥2 ＋2＝4当且仅当 x－2＝，即 x＝3 时，“＝”成立，又 f(x)在 x＝a 处取最小值，所以 a＝3.3．已知 x>0，y>0，z>0，x－y＋2z＝0 则的( )A．最小值为 8 B．最大值为 8C．最小值为 D．最大值为解析：选 D ＝＝＝≤.当且仅＝，即 x＝2z 时取等号．4．函数 y＝x＋的值域为________．解析：当 x>0 时，x＋≥2 ＝2；当 x<0 时，－x>0，－x＋≥2 ＝2，所以 x＋≤－2.综上，所求函数的值域为(－∞，－2]∪[2，＋∞...