星期六(综合限时练)解答题综合练(设计意图：训练考生在规定时间内完成得高分，限时：80分钟)1.(本小题满分12分)已知数列{an}的前n项和为Sn，对于任意的正整数n，直线x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n2平均分为两部分，各项均为正数的等比列{bn}中，已知b6＝b3b4，且b3和b5的等差中项是2a3.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)若cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn.解(1)由于x＋y＝2n总是把圆(x－n)2＋(y－)2＝2n2平均分为两部分，所以n＋＝2n.即Sn＝n2.所以a1＝S1＝1.当n≥2时，an＝n2－(n－1)2＝2n－1，经检验n＝1时也成立，所以an＝2n－1.等比数列{bn}中由于b6＝b3b4，所以b1＝1，设公比为q>0，因为b3和b5的等差中项是2a3，且2a3＝10，所以b3＋b5＝20，所以q2＋q4＝20，解得q＝2，所以bn＝2n－1.(2)由于cn＝anbn，所以Tn＝a1b1＋a2b2＋…＋anbn，Tn＝1＋3×2＋5×22＋…＋(2n－1)2n－1，①2Tn＝2＋3×22＋5×23＋…＋(2n－1)2n，②所以－Tn＝1＋2(2＋22＋…＋2n－1)－(2n－1)2n＝1＋2×－(2n－1)2n.所以－Tn＝－3＋2×2n－(2n－1)2n＝－3＋(3－2n)2n.Tn＝3＋(2n－3)2n.2.(本小题满分12分)某校在2015年2月份的高三期末考试结束后为了研究本校的数学成绩，现随机抽取了50名学生的数学成绩分析，现将成绩按如下方式分为7组，第一组[80，90)，第二组[90，100)，……第七组[140，150]，得到如图所示的频率分布直方图.(1)试估计该校数学的平均成绩(同一组中的数据用该区间的中点值作代表)；(2)为了具体了解本次考试的情况，从成绩在[130，150]的同学中任意抽取2人进行谈话，那么抽取的2人中恰好有一人的成绩位于[140，150]的概率是多少？解(1)由频率分布直方图可知[120，130)的频率为：1－(0.01×10＋0.02×10＋0.03×10＋0.016×10＋0.008×10＋0.004×10)＝1－0.88＝0.12，所以估计该校全体学生的数学平均成绩约为85×0.1＋95×0.2＋105×0.3＋115×0.16＋125×0.12＋135×0.08＋145×0.04＝8.5＋19＋31.5＋18.4＋15＋10.8＋5.8＝109.(2)根据频率分布直方图可知成绩在[130，140)有50×0.08＝4(人)，记为a1，a2，a3，a4，成绩在[140，150]有50×0.04＝2(人)，记为b1，b2.从中任取2人共有(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，a4)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，(b1，b2)，15种抽法.恰好有一人的成绩位于[140，150]的有(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a4，b1)，(a4，b2)，共有8种抽法.所以P＝，即恰好有一人的成绩位于[140，150]的概率是.3.(本小题满分12分)在如图所示的几何体中，已知四边形ABCD是正方形，四边形ABEF是梯形且AB∥EF，AF⊥DE，EF＝2AF＝4，∠AFE＝60°.(1)求证：平面ABCD⊥平面ABEF；(2)线段BF上是否存在一点M，使得DF∥平面ACM，若存在，给出证明，不存在，说明理由.(1)证明因为EF＝2AF＝4，∠AFE＝60°，所以AE2＝AF2＋EF2－2AF×EF×cos60°＝4＋16－8＝12，所以AE2＋AF2＝EF2，所以AE⊥AF.因为AF⊥DE且AE，DE⊂平面ADE，AE∩DE＝E，所以AF⊥平面ADE，因为AD⊂平面ADE，所以AF⊥AD，因为四边形ABCD是正方形，所以AD⊥AB，因为AB∩AF＝A，所以AD⊥平面ABEF，因为AD⊂平面ABCD.所以平面ABCD⊥平面ABEF.(2)解当点M为BF的中点时，DF∥平面ACM.证明：如图所示连接BD，AC且BD∩AC＝H，连接MH，因为四边形ABCD是正方形，所以H是BD的中点，因为M为BF的中点，所以DF∥HM，因为DF⊄平面ACM，MH⊂平面ACM，所以DF∥平面ACM.4.(本小题满分12分)已知椭圆＋＝1(a>b>0)的左右焦点分别为F1，F2，左右端点分别为A1，A2，抛物线y2＝4x与椭圆相交于A，B两点且其焦点与F2重合，AF2＝.(1)求椭圆的方程；(2)过点作直线l与椭圆相交于P，Q两点(不与A1，A2重合)，求证：直线A2P与A2Q垂直.(1)解如图所示：不妨设A(x0，y0)，(x0>0，y0>0).由题知AF2＝x0＋＝x0＋1＝，所以x0＝.所以y＝4×＝⇒y0＝，则A，由题知c＝1，有＋＝1，＋＝1，解得a2＝4.所以c＝1，a＝2.所以b2＝a2－1＝3，所以椭圆的方程为＋＝1.(2)证明①当直线l的斜率不存在时，l的方程为x＝，由于⇒＝1－＝，所以y＝±，所...
