高考数学二轮复习 第二篇 熟练规范 中档大题保高分 第22练 解三角形练习 文试题VIP免费

第22练解三角形[明考情]高考中主要考查正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用.求三角形的面积问题一般在解答题的17题位置.[知考向]1.利用正弦、余弦定理解三角形.2.三角形的面积.3.解三角形的综合问题.考点一利用正弦、余弦定理解三角形方法技巧(1)公式法解三角形：直接利用正弦定理或余弦定理，其实质是将几何问题转化为代数问题，适用于求三角形的边或角.(2)边角互化法解三角形：合理转化已知条件中的边角关系，适用于已知条件是边角混和式的解三角形问题.1.(2017·天津)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知asinA＝4bsinB，ac＝(a2－b2－c2).(1)求cosA的值；(2)求sin(2B－A)的值.解(1)由asinA＝4bsinB及＝，得a＝2b.由ac＝(a2－b2－c2)及余弦定理，得cosA＝＝＝－.(2)由(1)，可得sinA＝，代入asinA＝4bsinB，得sinB＝＝.由(1)知，A为钝角，所以cosB＝＝.于是sin2B＝2sinBcosB＝，cos2B＝1－2sin2B＝，故sin(2B－A)＝sin2BcosA－cos2BsinA＝×－×＝－.2.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.解(1)由已知得∠PBC＝60°，∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理，得PA2＝3＋－2××cos30°＝，∴PA＝.(2)设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα，在△PBA中，由正弦定理得＝，化简得cosα＝4sinα，故tanα＝，即tan∠PBA＝.3.在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，且＋＝.(1)求角A的大小；(2)若＝＋，a＝，求b的值.解(1)由题意，可得＋＝3，即＋＝1，整理得b2＋c2－a2＝bc，由余弦定理知，cosA＝＝，因为0＜A＜π，所以A＝.(2)根据正弦定理，得＝＝＝＝＋cosA＝＋＝＋，解得tanB＝，所以sinB＝.由正弦定理得，b＝＝＝2.4.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且bsinA＝acosB.(1)求角B的大小；(2)若b＝3，sinC＝2sinA，求a，c的值.解(1) bsinA＝acosB，由正弦定理得sinBsinA＝sinAcosB.在△ABC中，sinA≠0，即得tanB＝. B∈(0，π)，∴B＝.(2) sinC＝2sinA，由正弦定理得c＝2a，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，即9＝a2＋4a2－2a·2acos，解得a＝，∴c＝2a＝2.考点二三角形的面积方法技巧三角形面积的求解策略(1)若所求面积的图形为不规则图形，可通过作辅助线或其他途径构造三角形，转化为三角形的面积.(2)若所给条件为边角关系，则运用正弦、余弦定理求出其两边及其夹角，再利用三角形面积公式求解.5.(2016·全国Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2cosC(acosB＋bcosA)＝c.(1)求角C的大小；(2)若c＝，△ABC的面积为，求△ABC的周长.解(1)由已知及正弦定理得，2cosC(sinAcosB＋sinB·cosA)＝sinC，2cosCsin(A＋B)＝sinC，故2sinCcosC＝sinC.因为0＜C＜π，所以cosC＝，所以C＝.(2)由已知，absinC＝，又C＝，所以ab＝6，由已知及余弦定理得，a2＋b2－2abcosC＝7，故a2＋b2＝13，从而(a＋b)2＝25，可得a＋b＝5.所以△ABC的周长为5＋.6.在△ABC中，已知C＝，向量m＝(sinA，1)，n＝(1，cosB)，且m⊥n.(1)求A的大小；(2)若点D在边BC上，且3BD＝BC，AD＝，求△ABC的面积.解(1)由题意知m·n＝sinA＋cosB＝0，又C＝，A＋B＋C＝π，所以sinA＋cos＝0.所以sinA－cosA＋sinA＝0，即sin＝0.又0＜A＜，所以A－∈，所以A－＝0，即A＝.(2)设|BD|＝x，由3BD＝BC，得|BC|＝3x，由(1)知，A＝C＝，所以|BA|＝3x，B＝.在△ABD中，由余弦定理，得()2＝(3x)2＋x2－2·3x·xcos，解得x＝1，所以AB＝BC＝3，所以S△ABC＝BA·BC·sinB＝·3·3·sin＝.7.(2017·全国Ⅱ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin(A＋C)＝8sin2.(1)求cosB的值；(2)若a＋c＝6，△ABC面积为2，求b.解(1)由题设及A＋B＋C＝π，得sinB＝8sin2，故sinB＝4(1－cosB).上式两边平方，整理得17cos2B－32cosB＋15＝0，解得cosB＝1(舍去)或cosB＝.故cosB＝.(2)由cosB＝，得sinB＝，故S△ABC＝acsinB＝ac.又S△ABC＝2，则ac＝.由余弦定理及a＋c＝6，得b2＝a2＋c2－2accosB＝(a＋c)2－2ac(1＋cosB)＝36－2××＝4.所以b＝2.8.(2017·延边州一模)已知函数f(x)＝sin2ωx－sin2，函数f(x)的图象关于直线x＝π对称....