第28练不等式选讲[明考情]不等式选讲是每年的高考必考题，以选做题的形式呈现，主要考查基本运算能力和推理论证能力，中低档难度.[知考向]1.绝对值不等式的解法.2.不等式的证明.3.不等式的应用.考点一绝对值不等式的解法方法技巧|x－a|＋|x－b|≥c(c＞0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c＞0)型不等式的解法(1)利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想.(2)利用“零点分区间法”求解，体现了分类讨论的思想.(3)通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想.1.已知函数f(x)＝|x－a|，其中a＞1.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≥4－|x－4|的解集；(2)已知关于x的不等式|f(2x＋a)－2f(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，求a的值.解(1)当a＝2时，f(x)＋|x－4|＝当x≤2时，由f(x)≥4－|x－4|，得－2x＋6≥4，解得x≤1；当2＜x＜4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2≥4，无解；当x≥4时，由f(x)≥4－|x－4|，得2x－6≥4，解得x≥5.所以f(x)≥4－|x－4|的解集为{x|x≤1或x≥5}.(2)记h(x)＝f(2x＋a)－2f(x)，则h(x)＝由|h(x)|≤2，解得≤x≤.又已知|h(x)|≤2的解集为{x|1≤x≤2}，所以于是a＝3.2.(2017·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|x＋1|－|x－2|.(1)求不等式f(x)≥1的解集；(2)若不等式f(x)≥x2－x＋m的解集非空，求m的取值范围.解(1)f(x)＝当x＜－1时，f(x)≥1无解；当－1≤x≤2时，由f(x)≥1，得2x－1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，由f(x)≥1，解得x＞2.所以f(x)≥1的解集为{x|x≥1}.(2)由f(x)≥x2－x＋m，得m≤|x＋1|－|x－2|－x2＋x，而|x＋1|－|x－2|－x2＋x≤|x|＋1＋|x|－2－x2＋|x|＝－2＋≤，当且仅当x＝时，|x＋1|－|x－2|－x2＋x＝.故m的取值范围是.3.(2016·全国Ⅲ)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|，当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6，得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，当x＝时等号成立，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解；当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).4.已知函数f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|，g(x)＝|x－1|＋2.(1)解不等式|g(x)|＜5；(2)若对任意的x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，求实数a的取值范围.解(1)由||x－1|＋2|＜5，得－5＜|x－1|＋2＜5，所以－7＜|x－1|＜3，可得不等式的解集为(－2，4).(2)因为对任意x1∈R，都有x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)成立，所以{y|y＝f(x)}⊆{y|y＝g(x)}.又f(x)＝|2x－a|＋|2x＋3|≥|(2x－a)－(2x＋3)|＝|a＋3|，g(x)＝|x－1|＋2≥2，所以|a＋3|≥2，解得a≥－1或a≤－5，所以实数a的取值范围为(－∞，－5]∪[－1，＋∞).考点二不等式的证明要点重组(1)含绝对值的不等式的性质|a|－|b|≤|a±b|≤|a|＋|b|.(2)算术—几何平均不等式.如果a1，a2，…，an为n个正数，则≥，当且仅当a1＝a2＝…＝an时，等号成立.(3)柯西不等式①设a，b，c，d均为实数，则(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，当且仅当ad＝bc时等号成立.②设a1，a2，a3，…an，b1，b2，b3，…bn是实数，则(a＋a＋…＋a)(b＋b＋…＋b)≥(a1b1＋a2b2＋…＋anbn)2，当且仅当bi＝0(i＝1，2，…，n)或存在一个数k，使得ai＝kbi(i＝1，2，…，n)时，等号成立.5.已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1，1].(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.(1)解因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m.由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}.又f(x＋2)≥0的解集为[－1，1]，故m＝1.(2)证明由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式，得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)·≥2＝9.当且仅当a＝2b＝3c时，等号成立.所以a＋2b＋3c≥9.6.(2017·全国Ⅱ)已知a>0，b>0，a3＋b3＝2，证明：(1)(a＋b)(a5＋b5)≥4；(2)a＋b≤2.证明(1)(a＋b)(a5＋b5)＝a6＋ab5＋a5b＋b6＝(a3＋b3)2－2a3b3＋ab(a4＋b4)＝4＋ab(a4＋b4－2a2b2)＝4＋ab(a2－b2)2≥4...
