常微分方程数值解法(4 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。常微分方程数值解法【作用】微分方程建模是数学建模的重要方法，因为许多实际问题的数学描述将导致求解微分方程的定解问题。把形形色色的实际问题化成微分方程的定解问题，大体上可以按以下几步：1. 根据实际要求确定要讨论的量(自变量、未知函数、必要的参数等)并确定坐标系。2. 找出这些量所满足的基本规律(物理的、几何的、化学的或生物学的等等)。3. 运用这些规律列出方程和定解条件。 基本模型1.发射卫星为什么用三级火箭2.人口模型3.战争模型4.放射性废料的处理通常需要求出方程的解来说明实际现象，并加以检验。假如能得到解析形式的解固然是便于分析和应用的，但是我们知道，只有线性常系数微分方程，并且自由项是某些特别类型的函数时，才可以得到这样的解，而绝大多数变系数方程、非线性方程都是所谓“解不出来”的于是对于用微分方程解决实际问题来说，数值解法就是一个十分重要的手段。1. 改进 Euler 法：2. 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：【源程序】1. 改进 Euler 法：function [x,y]=eulerpro(fun,x0,x1,y0,n);%fun 为函数，(x0，x1)为 x 区间，y0 为初始值，n 为子区间个数if nargin<5,n=50;endh=(x1-x0)/n;x(1)=x0;y(1)=y0;for i=1:nx(i+1)=x(i)+h;y1=y(i)+h*feval(fun,x(i),y(i));y2=y(i)+h*feval(fun,x(i+1),y1);y(i+1)=(y1+y2)/2;end调用 command 窗口f=inline('-2*y+2*x^2+2*x')[x,y]=eulerpro(f,0,0.5,1,10)求解函数 y'=−2y+2+2x ，(0 ≤ x ≤ 0.5)， y(0) = 12. 龙格—库塔（Runge—Kutta）方法：[t,y]=solver('F',tspan，y0)这里solver为ode45，ode23，ode113，输入参数 F 是用M文件定义的微分方程y'= f (x, y)右端的函数。tspan=[t0,tfinal]是求解区间，y0是初值。注：ode45和ode23变步长的，采纳Runge-Kutta算法。ode45 表示采纳四阶-五阶 Runge-Kutta 算法，它用 4 阶方法提供候选解，5 阶方法控制误差，是一种自适应步长（变步长）的常微分方程数值解法，其整体截断误差为(Δx)^5。解决的是 Nonstiff(非刚性)常微分方程。ode45 是解决数值解问题的首选方法，若长时间没结果，应该就是刚性的，可换用 ode23 试试例如： odefun=@(t,y) (y+3*t)/t^2; %定义函数tspan=[1 4]; %求解区间y0=-2; %初值[t,y]=ode45(odefun,tspan,y0);plot(t,y) %作图title('t^2y''=y+3t,y(1...
