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幂级数及泰勒展开习题解答

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幂级数及泰勒展开习题解答(15 页)Good is good, but better carries it.精益求精,善益求善。幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 解: 当时,因 , 所以收敛,当时, 绝对收敛, 收敛区间为。 2. 解: 当时,为收敛的交错级数,当时, 发散, 收敛区间为。 3. 解:, 当时,通项不趋于零, 收敛区间为。 4. 解:故当,即时级数绝对收敛。当时, 发散,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。 5. 解:故当,即时级数绝对收敛。当时,因为,所以 收敛,当时,因为当时 所以发散, 收敛区间为。 6. 解:故当,即时级数绝对收敛。 当时, 为收敛的交错级数,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散。当时, 为收敛的交错级数,当时, 为收敛的交错级数, 收敛区间为。令2. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散。当时, 发散,当时, 发散, 收敛区间为。令3. 解: 当时,发散;当时,发散, 收敛区间为。 令4. 解:故当时级数绝对收敛,当时,级数发散。当时, (通项不趋于零)发散, 收敛区间为。令故另解 三、求下列级数的和1. 也可以考虑利用幂级数 2. 四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数1.解:,故该级数的收敛区间为。再由因有界,是收敛级数的一般项,所以对任意的上式均成立。。2. 解:,由 故该级数的收敛区间为。再由因为绝对收敛级数的一般项,所以对任意的上式均成立。。五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数常用幂级数展式:(1)(2)(3)(4)(6)(7)基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数,再积分可得原函数的幂级数展式。1.解:由,令得 。2. 解:由,令得。3. 解:由,及令得。4. 解:时,均为收敛的交错级数。5. 解:由及,令得 6. 解:由,得7. 解: 。六、在指定点处将下列函数展开成幂级数1. 解:由及,令得。2. 解:。七、求函数在处的阶导数解:。八、设有两条抛物线和,记它们的交点横坐标的绝对值为(1)求的表达式(2)求这两条抛物线所围成的图形的面积(3)求级数的和解:(1);(2);(3)由,得幂级数部分习题课常用幂级数展式:(1)(2)(3)(4)(6)(7)基本方法:代数法,即代换;利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函...

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