幂级数及泰勒展开习题解答VIP专享

幂级数及泰勒展开习题解答(15 页)Good is good, but better carries it.精益求精，善益求善。幂级数及泰勒展开一、求下列幂级数的收敛区间1. 解： 当时，因 ， 所以收敛，当时， 绝对收敛， 收敛区间为。 2. 解： 当时，为收敛的交错级数，当时， 发散， 收敛区间为。 3. 解：， 当时，通项不趋于零， 收敛区间为。 4. 解：故当，即时级数绝对收敛。当时， 发散，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。 5. 解：故当，即时级数绝对收敛。当时，因为，所以 收敛，当时，因为当时 所以发散， 收敛区间为。 6. 解：故当，即时级数绝对收敛。 当时， 为收敛的交错级数，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。二、求下列幂级数的收敛区间并求和函数1. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， 为收敛的交错级数，当时， 为收敛的交错级数， 收敛区间为。令2. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， 发散，当时， 发散， 收敛区间为。令3. 解： 当时，发散；当时，发散， 收敛区间为。 令4. 解：故当时级数绝对收敛，当时，级数发散。当时， （通项不趋于零）发散， 收敛区间为。令故另解 三、求下列级数的和1. 也可以考虑利用幂级数 2. 四、利用直接展开法将下列函数展开成幂级数1.解：，故该级数的收敛区间为。再由因有界，是收敛级数的一般项，所以对任意的上式均成立。。2. 解：，由 故该级数的收敛区间为。再由因为绝对收敛级数的一般项，所以对任意的上式均成立。。五、使用间接展开法将下列函数展开成幂级数常用幂级数展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函数，再积分可得原函数的幂级数展式。1．解：由，令得 。2. 解：由，令得。3. 解：由，及令得。4. 解：时，均为收敛的交错级数。5. 解：由及，令得 6. 解：由，得7. 解： 。六、在指定点处将下列函数展开成幂级数1. 解：由及，令得。2. 解：。七、求函数在处的阶导数解：。八、设有两条抛物线和，记它们的交点横坐标的绝对值为（1）求的表达式（2）求这两条抛物线所围成的图形的面积（3）求级数的和解：（1）;（2）;（3）由，得幂级数部分习题课常用幂级数展式：（1）（2）（3）（4）（6）（7）基本方法：代数法，即代换；利用幂级数性质. 对复杂函数可以先求导看是否为幂级数展式已知的简单函...