《线性代数》复习提纲 第一部分:基本要求(计算方面)四阶行列式得计算;N 阶特别行列式得计算(如有行与、列与相等);矩阵得运算(包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等得混合运算);求矩阵得秩、逆(两种方法);解矩阵方程;含参数得线性方程组解得情况得讨论;齐次、非齐次线性方程组得求解(包括唯一、无穷多解);讨论一个向量能否用与向量组线性表示;讨论或证明向量组得相关性;求向量组得极大无关组,并将多余向量用极大无关组线性表示;将无关组正交化、单位化;求方阵得特征值与特征向量;讨论方阵能否对角化,如能,要能写出相似变换得矩阵及对角阵;通过正交相似变换(正交矩阵)将对称矩阵对角化;写出二次型得矩阵,并将二次型标准化,写出变换矩阵;判定二次型或对称矩阵得正定性。第二部分:基本知识一、行列式1.行列式得定义用 n^2 个元素 aij 组成得记号称为 n 阶行列式。 (1)它表示所有可能得取自不同行不同列得 n 个元素乘积得代数与; (2)展开式共有 n!项,其中符号正负各半;2.行列式得计算 一阶|α|=α 行列式,二、三阶行列式有对角线法则; N 阶(n>=3)行列式得计算:降阶法 定理:n 阶行列式得值等于它得任意一行(列)得各元素与其对应得代数余子式乘积得与。 方法:选取比较简单得一行(列),保保留一个非零元素,其余元素化为 0,利用定理展开降阶。特别情况上、下三角形行列式、对角形行列式得值等于主对角线上元素得乘积;(2)行列式值为 0 得几种情况: Ⅰ 行列式某行(列)元素全为 0;Ⅱ 行列式某行(列)得对应元素相同;Ⅲ 行列式某行(列)得元素对应成比例;Ⅳ 奇数阶得反对称行列式。二.矩阵 1.矩阵得基本概念(表示符号、一些特别矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等); 2.矩阵得运算(1)加减、数乘、乘法运算得条件、结果;(2)关于乘法得几个结论:① 矩阵乘法一般不满足交换律(若 AB＝BA,称 A、B 就是可交换矩阵);② 矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在;③ 若 A、B 为同阶方阵,则|AB|=|A|*|B|;④|kA|=k^n|A| 3.矩阵得秩(1)定义 非零子式得最大阶数称为矩阵得秩;(2)秩得求法 一般不用定义求,而用下面结论:矩阵得初等变换不改变矩阵得秩;阶梯形矩阵得秩等于非零行得个数(每行得第一个非零元所在列,从此元开始往下全为 0 得矩阵称为行阶梯阵)。求秩:利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 4.逆矩阵 (1)定义:A、B 为 n 阶方阵,若 AB＝BA＝I,称 A 可逆,B 就是 A 得逆矩阵(满足半边也成立); (2)性质: (AB)^-1=(...
