2025 中考数学专题知识突破专题二 新定义型问题一、中考专题诠释所谓“新定义”型问题,主要就是指在问题中定义了中学数学中没有学过得一些概念、新运算、新符号,要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解,根据新定义进行运算、推理、迁移得一种题型、“新定义”型问题成为近年来中考数学压轴题得新亮点、在复习中应重视学生应用新得知识解决问题得能力二、解题策略与解法精讲“新定义型专题”关键要把握两点:一就是掌握问题原型得特点及其问题解决得思想方法;二就是根据问题情景得变化,通过仔细思考,合理进行思想方法得迁移.三、中考典例剖析考点一:规律题型中得新定义例 1 (2025•湛江)阅读下面得材料,先完成阅读填空,再按要求答题:sin30°=,cos30°=,则 sin230°+cos230°= ;①sin45°=,cos45°=,则 sin245°+cos245°= ;②sin60°=,cos60°=,则 sin260°+cos260°= .③…观察上述等式,猜想:对任意锐角 A,都有 sin2A+cos2A= .④(1)如图,在锐角三角形 ABC 中,利用三角函数得定义及勾股定理对∠A 证明您得猜想;(2)已知:∠A 为锐角(cosA＞0)且 sinA=,求 cosA.思路分析:①②③ 将特别角得三角函数值代入计算即可求出其值;④ 由前面①②③得结论,即可猜想出:对任意锐角 A,都有 sin2A+cos2A=1;(1)如图,过点 B 作 BD⊥AC 于 D,则∠ADB=90°.利用锐角三角函数得定义得出 sinA=,cosA=,则 sin2A+cos2A=,再根据勾股定理得到 BD2+AD2=AB2,从而证明 sin2A+cos2A=1;(2)利用关系式 sin2A+cos2A=1,结合已知条件 cosA＞0 且 sinA=,进行求解.解: sin30°=,cos30°=,∴sin230°+cos230°=()2+()2=+=1;① sin45°=,cos45°=,∴sin245°+cos245°=()2+()2=+=1;② sin60°=,cos60°=,∴sin260°+cos260°=()2+()2=+=1.③观察上述等式,猜想:对任意锐角 A,都有 sin2A+cos2A=1.④(1)如图,过点 B 作 BD⊥AC 于 D,则∠ADB=90°. sinA=,cosA=,∴sin2A+cos2A=()2+()2=, ∠ADB=90°,∴BD2+AD2=AB2,∴sin2A+cos2A=1.(2) sinA=,sin2A+cos2A=1,∠A 为锐角,∴cosA=.点评:本题考查了同角三角函数得关系,勾股定理,锐角三角函数得定义,比较简单.对应训练1.(2025•绵阳)我们知道,三角形得三条中线一定会交于一点,这一点就叫做三角形得重心.重心有很多美妙得性质,如关于线段比.面积比就有一些“美丽”结论,利用这些性质可以解决三角形中得若干问题.请您利用重心得概念完成如下问题:(1)若 O 就是△ABC 得重心(如图 1),连结 A...
