§8.5 直线、平面垂直的判定与性质考纲展示► 1.能以立体几何中的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面垂直的有关性质和判定定理．2．能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的位置关系的简单命题．考点 1 直线与平面垂直的判定与性质直线与平面垂直(1)直线和平面垂直的定义：直线 l 与平面 α 内的________直线都垂直，就说直线 l 与平面 α 互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理及性质定理：答案：(1)任意一条(2)两条相交直线 a，b⊂α a∩b＝O l⊥a l⊥b 平行 a⊥α b⊥α(1)[教材习题改编]下列命题中不正确的是( )A．如果平面 α⊥平面 β，且直线 l∥平面 α，则直线 l⊥平面 βB．如果平面 α⊥平面 β，那么平面 α 内一定存在直线平行于平面 βC．如果平面 α 不垂直于平面 β，那么平面 α 内一定不存在直线垂直于平面 βD．如果平面 α⊥平面 γ，平面 β⊥平面 γ，α∩β＝l，那么 l⊥γ答案：A(2)[教材习题改编] 如图，在三棱锥 V－ABC 中，∠VAB＝∠VAC＝∠ABC＝90°，则构成三棱锥的四个三角形中直角三角形的个数为________．答案：4[典题 1] (1)[2017·上海六校联考]已知 m 和 n 是两条不同的直线，α 和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( )A．α⊥β 且 m⊂α B．α⊥β 且 m∥αC．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且 α∥β[答案] C[解析] 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知 C 正确．(2)如图所示，在四棱锥 P－ABCD 中，PA⊥底面 ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E 是 PC 的中点．求证：①CD⊥AE；②PD⊥平面 ABE.[证明] ①在四棱锥 P－ABCD 中， PA⊥底面 ABCD，CD⊂平面 ABCD，∴PA⊥CD. AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面 PAC.而 AE⊂平面 PAC，∴CD⊥AE.② 由 PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得 AC＝PA. E 是 PC 的中点，∴AE⊥PC.由①知，AE⊥CD，且 PC∩CD＝C，∴AE⊥平面 PCD.而 PD⊂平面 PCD，∴AE⊥PD. PA⊥底面 ABCD，∴PA⊥AB.又 AB⊥AD，且 PA∩AD＝A，∴AB⊥平面 PAD，而 PD⊂平面 PAD，∴AB⊥PD.又 AB∩AE＝A，∴PD⊥平面 ABE.[点石成金] 直线和平面垂直判定的四种方法(1)利用判定定理；(2)利用判定定理的推论(a∥b，a⊥α⇒b⊥α)，如典题 1 的第(1)题中选项 C；(3)利用面面平行的性质(a⊥α，α∥β⇒a⊥β)；(4...
