§9.9 直线与圆锥曲线考纲展示► 1.掌握解决直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系的思想方法．2．了解圆锥曲线的简单应用．3．理解数形结合的思想．考点 1 直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系判断直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系时，通常将直线 l 的方程 Ax＋By＋C＝0(A，B 不同时为 0)代入圆锥曲线 C 的方程 F(x，y)＝0，消去 y(也可以消去 x)得到一个关于变量 x(或变量 y)的一元方程．即消去 y，得 ax2＋bx＋c＝0.(1)当 a≠0 时，设一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0 的判别式为 Δ，则 Δ>0⇔直线与圆锥曲线 C________；Δ＝0⇔直线与圆锥曲线 C________；Δ<0⇔直线与圆锥曲线 C________.(2)当 a＝0，b≠0 时，即得到一个一次方程，则直线 l 与圆锥曲线 C 相交，且只有一个交点，此时，若 C 为双曲线，则直线 l 与双曲线的渐近线的位置关系是________；若 C 为抛物线，则直线 l 与抛物线的对称轴的位置关系是________．答案：(1)相交 相切 相离(2)平行 平行或重合[典题 1] (1)[2017·甘肃兰州检测]若直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，则过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1 的交点个数为( )A．至多一个 B．2 C．1 D．0[答案] B[解析] 直线 mx＋ny＝4 和圆 O：x2＋y2＝4 没有交点，∴ ＞2，∴m2＋n2＜4.∴＋＜＋＝1－m2＜1，∴点(m，n)在椭圆＋＝1 的内部，∴过点(m，n)的直线与椭圆＋＝1 的交点有 2 个．(2)若直线 y＝kx＋2 与双曲线 x2－y2＝6 的右支交于不同的两点，则 k 的取值范围是( )A. B.C. D.[答案] D[解析] 由得(1－k2)x2－4kx－10＝0.设直线与双曲线右支交于不同的两点 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则解得－＜k＜－1.即 k 的取值范围是.[点石成金] 直线与圆锥曲线的位置关系的两种判定方法及两个关注点(1)判定方法① 代数法：即联立直线与圆锥曲线方程可得到一个关于 x，y 的方程组，消去 y(或 x)得一元方程，此方程根的个数即为交点个数，方程组的解即为交点坐标．② 几何法：即画出直线与圆锥曲线的图象，根据图象判断公共点个数．(2)关注点① 联立直线与圆锥曲线的方程消元后，应注意讨论二次项系数是否为零的情况．② 判断直线与圆锥曲线的位置关系时，判别式 Δ 起着关键性的作用，第一：可以限定所给参数的范围；第二：可以取舍某些解以免产生增根．考点 2 弦长问题圆锥曲线的弦长设斜率为 k(k≠0)的直线 l ...
