§6.4 数列求和考纲展示► 考点 1 公式法求和1.公式法直接利用等差数列、等比数列的前 n 项和公式求和．(1)等差数列的前 n 项和公式：Sn＝＝na1＋d.(2)等比数列的前 n 项和公式：Sn＝2．倒序相加法与并项求和法(1)倒序相加法：如果一个数列{an}的前 n 项中首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前 n 项和可用倒序相加法，如等差数列的前 n 项和公式即是用此法推导的．(2)并项求和法：在一个数列的前 n 项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和．形如 an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解．例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(1002－992)＋(982－972)＋…＋(22－12)＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5 050.非等差、等比数列求和的常用方法：倒序相加法；并项求和法．(1)[教材习题改编]一个球从 100 m 高处自由落下，着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第 10 次着地时，经过的路程是( )A．100＋200×(1－2－9) B．100＋100(1－2－9)C．200(1－2－9) D．100(1－2－9)答案：A(2)[教材习题改编]已知函数 f(n)＝n2cos nπ，且 an＝f(n)＋f(n＋1)，则 a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.答案：－100解析：因为 f(n)＝n2cos nπ＝ 所以 f(n)＝(－1)n·n2，由 an＝f(n)＋f(n＋1)＝(－1)n·n2＋(－1)n＋1·(n＋1)2＝(－1)n[n2－(n＋1)2]＝(－1)n＋1·(2n＋1)，得a1＋a2＋a3＋…＋a100＝3＋(－5)＋7＋(－9)＋…＋199＋(－201)＝50×(－2)＝－100.数列求和的两个易错点：公比为参数；项数的奇偶数．(1)设数列{an}的通项公式是 an＝xn，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.答案：Sn＝ 解析：当 x＝1 时，Sn＝n；当 x≠1 时，Sn＝.(2)设数列{an}的通项公式是 an＝(－1)n，则数列{an}的前 n 项和 Sn＝________.答案：Sn＝解析：若 n 为偶数，则 Sn＝0；若 n 为奇数，则 Sn＝－1. [典题 1] (1)已知数列{an}中，a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，则数列{an}的前 9 项和等于________．[答案] 27[解析] 由 a1＝1，an＝an－1＋(n≥2)，可知数列{an}是首项为 1，公差为的等差数列，故 S9＝9a1＋×＝9＋18＝27.(2)若等比数列{an}满足 a1＋a4＝10，a2＋a5＝20，则{an}的前 n 项和 Sn＝________.[答案] (2n－1)[解析] 由题意 a2＋a5＝q(a1＋a4)，得 20＝q×10，故 q＝2，代入 a1＋a4＝a1＋a1q3＝10，得 9a1＝10，即 a1＝.故 Sn＝＝(2n－1)...
