§7.3 基本(均值)不等式及应用考纲展示► 1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点 1 利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式≤(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a>0，b>0 (2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)＋≥________(a，b 同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．答案：(1)2ab (2)23．算术平均数与几何平均数设 a>0，b>0，则 a，b 的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知 x>0，y>0，则(1)如果积 xy 是定值 p，那么当且仅当________时，x＋y 有最________值是 2.(简记：积定和最小)(2)如果和 x＋y 是定值 p，那么当且仅当________时，xy 有最________值是.(简记：和定积最大) 答案：(1)x＝y 小 (2)x＝y 大1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条件．(1)函数 y＝x＋在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2 －2解析：当 x>0 时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当 x＝，即 x＝1 时取等号，故 y 的最小值为 2.当 x<0 时，－x>0，y＝x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝－，即 x＝－1 时取等号，故 y 的最大值为－2.(2)函数 y＝sin x＋，x∈的最小值为________．答案：5解析：y＝sin x＋≥2＝4，当 sin x＝时，sin x＝±2，显然取不到等号．事实上，设 t＝sin x，x∈，则 t∈(0,1]，易知 y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当 t＝1时，y 取得最小值 5.2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知 01，则 x＋的最小值为________．答案：5解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当 x－1＝，即 x＝3 时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．(1)已知 a>0，b>0，a＋b＝2，则 y＝＋的最小值是________．答案：解析： a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝.故 y＝＋的最小值为.(2)已知 0
