第 8 讲 函数与方程、函数的模型及其应用最新考纲 1.了解函数零点的概念，掌握连续函数在某个区间上存在零点的判定方法；2.了解指数函数、对数函数、幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义；3.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用.知 识 梳 理1.函数的零点(1)函数零点的概念对于函数 y＝f(x)，把使 f ( x ) ＝ 0 的实数 x 叫做函数 y＝f(x)的零点.(2)函数零点与方程根的关系方程 f(x)＝0 有实数根⇔函数 y＝f(x)的图象与 x 轴 有交点⇔函数 y＝f(x)有零点.(3)零点存在性定理如 果 函 数 y ＝ f(x) 满 足 ： ① 在 区 间 [a ， b] 上 的 图 象 是 连 续 不 断 的 一 条 曲 线 ；② f ( a )· f ( b )<0 ；则函数 y＝f(x)在(a，b)上存在零点，即存在 c∈(a，b)，使得 f(c)＝0，这个 c 也就是方程 f(x)＝0 的根.2.二次函数 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与零点的关系Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象与 x 轴的交点( x 1， 0) ， ( x 2， 0) ( x 1， 0) 无交点零点个数2103.常见的几种函数模型(1)一次函数模型：y＝kx ＋ b ( k ≠0) .(2)反比例函数模型：y＝(k≠0).(3)二次函数模型：y＝ax2＋bx＋c(a，b，c 为常数，a≠0).(4)指数函数模型：y＝a·bx＋c(b>0，b≠1，a≠0).(5)对数函数模型：y＝mlogax＋n(a>0，a≠1，m≠0).4.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数性质 y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的增减性单调递增单调递增单调递增增长速度越来越快越来越慢相对平稳图象的变化随 x 的增大逐渐表现随 x 的增大逐渐表现随 n 值变化为与 y 轴 平行为与 x 轴 平行而各有不同值的比较存在一个 x0，当 x>x0时，有 logax
