3 等差数列的前 n 项和材拓展1．等差数列的判定(1)an－an－1＝d (n≥2，d 为常数)⇔{an}是公差为 d 的等差数列；(2)2an＝an－1＋an＋1 (n≥2)⇔{an}是等差数列；(3)an＝kn＋b(k，b 为常数)⇔{an}是公差为 k 的等差数列(n≥1)；(4)Sn＝An2＋Bn(A，B 为常数)⇔{an}是公差为 2A 的等差数列(n≥1)．例如：已知等差数列{an}的前 n 项和 Sn＝(n－1)2＋λ，则 λ 的值是________．解析 Sn＝(n－1)2＋λ＝n2－2n＋(1＋λ)， {an}是等差数列，∴1＋λ＝0，λ＝－1
答案 －12．等差数列的通项公式将 an＝a1＋(n－1)d 可整理为 an＝dn＋(a1－d)，它是关于 n 的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)，它的图象是一条射线上的一群横坐标为正整数的孤立的点，公差 d 是该射线所在直线的斜率．例如：等差数列{an}中，若 an＝m，am＝n (m≠n)，则 am＋n＝______
解析 由点(n，an)，(m，am)，(m＋n，am＋n)三点共线，∴＝
即＝＝－1，易得 am＋n＝0
答案 03．等差数列的前 n 项和公式(1)将公式 Sn＝na1＋d 变形可得 Sn＝n2＋n
故当 d≠0 时，等差数列前 n 项和公式是关于n 的二次函数，它的图象是抛物线 y＝x2＋x 上横坐标为正整数的一群孤立点．(2)＝n＋是关于 n 的一次函数(d≠0)或常函数(d＝0)．当涉及等差数列前 n 项和 Sn的计算问题时，有时设 Sn＝An2＋Bn 的形式更简便快捷．例如：等差数列{an}中，若 Sp＝q，Sq＝p (p≠q)，则 Sp＋q＝__________
解析 设 Sn＝An2＋Bn，则由(1)－(2)得 Ap2＋Bp－Aq2－Bq＝q－p，∴A(p2－q2)＋B(p
