高三数学 三角恒等变换精华学案

三角恒等变换一、课前检测1.（2010 全国卷 2 理 13）已知是第二象限的角，，则 ．【答案】 【命题意图】本试题主要考查三角函数的诱导公式、正切的二倍角公式和解方程，考查考生的计算能力.【 解 析 】 由得， 又， 解 得，又是第二象限的角，所以.2. （ 2010 全 国 卷 1 文 14 ） 已 知为 第 二 象 限 的 角 ，, 则 .答案 【命题意图】本小题主要考查三角函数值符号的判断、同角三角函数关系、和角的正切公式,同时考查了基本运算能力及等价变换的解题技能.【解析】因为为第二象限的角,又, 所以，,所3．（2010 上海文 19）已知，化简：.解析：原式lg(sinxcosx)lg(cosxsinx)lg(sinxcosx)20．二、知识梳理1．三角函数式的化简的一般要求： ① 函数名称尽可能少；② 项数尽可能少；③ 尽可能不含根式；④ 次数尽可能低、尽可能求出值．2．常用的基本变换方法有：异角化同角、异名化同名、异次化同次．3．求值问题的基本类型及方法① “给角求值”一般所给的角都是非特殊角，解题时应该仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，通常是将非特殊角转化为特殊角或相互抵消等方法进行求解．② “给值求值”即给出某些角的三角函数（式）的值，求另外的一些角的三角函数值，解题关键在于：变角，使其角相同；③ “给值求角”关键也是：变角，把所求的角用含已知角的式子表示，由所求得的函数值结合该函数的单调区间求得角．三、典型例题分析例 1. 化简： 变式训练 1：已知，若，则 可化简为 ．解：例 2．求证：变式训练 2 在△ABC 中，，，，求A 的值和△ABC 的面积．解： sinA＋cosA＝ ① 2sinAcosA＝－从而 cosA＜0 A∈()∴sinA－cosA＝＝ ②据①②可得 sinA＝ cosA＝∴tanA＝－2－S△ABC＝例 3 已知 tan(α－β)＝，β＝-，且 α、β∈（0，），求 2α－β 的值.解：由 tanβ＝－ β∈(0，π)得 β∈(, π) ①由 tanα＝tan[(α－β)＋β]＝ α∈(0，π)得 0＜α＜ ∴ 0＜2α＜π由 tan2α＝＞0 ∴知 0＜2α＜ ② tan(2α－β)＝＝1由①②知 2α－β∈(－π，0)∴2α－β＝－(或利用 2α－β＝2(α－β)＋β 求解)变式训练 3：已知 α 为第二象限角，且 sinα＝，求的值．解：由 sinα＝ α 为第二象限角∴cosα＝－∴＝＝－四、归纳与总结（以学生为主，师生共同完成）1．三角函数的化简与求值的难点在于：众多的公式的灵活运用和解题突破...