初中数学换元法专题讲座

初中数学换元法专题讲座讷河市孔国乡进化中心学校 刘桂兰一、相关概念1、换元就就是引入辅助未知数,把题中某一个(些)字母得表达式用另一个(些)字母得表达式来代换,这种解题方法,叫做换元法,又称变量代换法。2、换元得目得就是化繁为简,化难为易,连接已知与未知。例如通过换元来降次,或化分式、根式为整式等。换元得关鍵就是选择适当得式子进行代换。3、换元要注意新旧元得取值范围得变化。要避开代换得新变量得取值范围被缩小;若新变量得取值范围扩大了,则在求解之后要加以检验。4、二元对称方程(组)二元对称方程:方程中得未知数 x、y 互换后,方程保持不变得方程称为二元对称方程;二元对称方程组:由两个二元对称方程组成得方程组称为二元对称方程组。解二元对称方程组,常用二元基本对称式代换。5、倒数方程倒数方程:按未知数降幂排列后,与首、末等距离得项得系数相等。例如:一元四次倒数方程 ax4+bx3+cx2+bx+a=0。两边都除以 x2,得 a(x2+)+b(x+)+c=0。设 x+=y, 那么 x2+= y2－2, 原方程可化为 ay2+by+c－2=0。对于一元五次倒数方程 ax5+bx4+cx3+cx2+bx+a=0,必有一个根就是－1。原方程可化为 (x+1)(ax4+b1x3+c1x2+b1x+a)=0。ax4+b1x3+c1x2+b1x+a=0 ,这就是四次倒数方程。形如:ax4－bx3+cx2＋bx+a=0 得方程,其特点就是: 与首、末等距离得偶数次幂项得系数相等,奇数次幂得系数就是互为相反数。两边都除以 x2, 可化为 a(x2+)－b(x－)+c=0。设 x－=y, 则 x2+=y2+2, 原方程可化为 ay2－by+c+2a=0。二、例题讲解例 1 解方程=x。解:设=y, 那么 y2=2x+2。原方程化为: y－y2=0 。解得 y=0;或 y=2。当 y=0 时, =0 (无解) 当 y=2 时, =2, 解得,x=。 检验(略)。 例 2 解方程:x4+(x－4)4=626。解:(用平均值 代换,可化为双二次方程。)设 y= x－2 ,则 x=y+2。 原方程化为 (y+2)4+(y－2)4=626。 ［(y+2)2－(y－2)2]2＋2(y+2)2(y－2)2－626=0整理,得 y4+24y2－297=0。 (这就是关于 y 得双二次方程)。(y2+33)(y2－9)=0。 当 y2+33=0 时, 无实根 ; 当 y2－9=0 时, y=±3。即 x－2=±3, ∴x=5;或 x=－1。例 3 解方程:2x4+3x3－16x2+3x+2=0 。 解: 这就是个倒数方程,且知 x≠0,两边除以 x2,并整理 得 2(x2+)+3(x+)－16=0。 设 x+=y, 则 x2+=y2－2。原方程化为 2y2+3y－20=0。 解得 y=－4;或 y=。由 y=－4 得 x=－2+;或 x=－2－。由 y=得 x=2;或 x=。例 4 解方程组解:(...