第 2 课时 对数的运算[学习目标] 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算.2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数．[知识链接]在指数的运算性质中：am·an＝am＋n，＝am－n，(am)n＝amn.[预习导引]1．对数的运算性质如果 a＞0，且 a≠1，M＞0，N＞0.那么：(1)loga(M·N)＝logaM ＋ log aN.(2)loga＝logaM － log aN.(3)logaMn＝n log aM，(n∈R)．2．换底公式logab＝(a＞0，且 a≠1；c＞0，且 c≠1；b>0)．温馨提示 常用结论(1)loganbn＝logab；(2)logambn＝logab；(3)logab·logba＝1；(4)logab·logbc·logcd＝logad.要点一 对数运算性质的应用例 1 计算下列各式的值：(1)lg－lg ＋lg；(2)lg 25＋lg 8＋lg 5×lg 20＋(lg 2)2.解 (1)方法一 原式＝(5lg 2－2lg 7)－×lg 2＋(2lg 7＋lg 5)＝lg 2－lg 7－2lg 2＋lg 7＋lg 5＝lg 2＋lg 5＝(lg 2＋lg 5)＝lg 10＝.方法二 原式＝lg－lg 4＋lg 7＝lg＝lg(·)＝lg＝.(2)原式＝2lg 5＋2lg 2＋lg 5(2lg 2＋lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 10＋(lg 5＋lg 2)2＝2＋(lg 10)2＝2＋1＝3.规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收”，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数．(2)“拆”，将积(商)的对数拆成对数的和(差)．2．对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式．要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2＋lg 5＝1 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式．跟踪演练 1 计算下列各式的值：(1)(lg 5)2＋2lg 2－(lg 2)2；(2).解 (1)原式＝(lg 5)2＋lg 2(2－lg 2)＝(lg 5)2＋(1＋lg 5)lg 2＝(lg 5)2＋lg 2·lg 5＋lg 2＝(lg 5＋lg 2)·lg 5＋lg 2＝lg 5＋lg 2＝1.(2)原式＝＝＝.要点二 换底公式的应用 例 2 已知 log189＝a,18b＝5，用 a、b 表示 log3645.解 方法一 由 18b＝5，得 log185＝b，又 log189＝a，所以log3645＝＝＝＝.方法二 a＝log189＝＝，所以 lg 2＝.①又 18b＝5，则 b＝log185＝＝，所以 lg 5＝lg 3.②log3645＝＝＝，将①②两式代入上式并化简整理，得 log3645＝.方法三 设 log3645＝x，则 36x＝45，即 62x＝5×9，从而有 182x＝5×9x＋1，对这个等式的两边都取以 18 为底的对数，得 2x＝log185＋(x＋1)log189，又 18b＝5，所以 b＝log185.所以 2x＝b＋(x＋1)a，解得 x＝，即 log3645＝.规律方法 ...
