高中数学 3.3 几个三角恒等式教材梳理素材 苏教版必修 4知识·巧学1.积化和差恒等式 由于 sin(α+β)+sin(α-β)=2sinαcosβ，则不难得出 sinαcosβ=［sin(α+β)+sin(α-β)］.同理可得cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)],sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)], 这组等式称为三角函数积化和差公式，熟悉结构，不要求记忆，它的优点在于将“积式”化为“和差”，有利于简化计算.在告知公式前提下利用该组公式进行运算.记忆要诀 在积化和差公式的展开式右边的函数名称可简记为“同余弦，异正弦”，即当展开式为两个角的正弦积或余弦积时，展开式为两角和与差的余弦；当展开式为两角的正弦与余弦之积时，展开式为两角和与差的正弦.深化升华 积化和差公式实现了运算结构和角的转化，它将两个角的正余弦之积转化为这两个角和与差的正弦或余弦和差的形式.2.和差化积恒等式与万能公式 若令 α+β=θ,α-β=φ，则 α=，β=，代入 sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)]得sincos=［sin(+)+sin(-)］=(sinθ+sinφ).∴sinθ+sinφ=2sincos. 同理，可得sinθ-sinφ=2cossin，cosθ+cosφ=2coscos，cosθ-cosφ=-2sinsin， 这组等式称为和差化积公式，其特点是同名的正(余)弦才能使用.辨析比较 和差化积公式也实现了运算结构与角的转化，只不过它是将两个角正弦和与差或余弦和与差的形式化为两角和差一半的正余弦积的形式，它与积化和差公式相辅相成，配合使用.3.万能代换公式 由于 sinα==,cosα=，tanα==, 即 sinα=,cosα=,tanα=. 上述三个公式统称为万能公式(不用记忆).这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切即：f(tan).所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁.上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小.典题·热题例 1 在△ABC 中，若 sinBsinC=cos2，则△ABC 是( )A.等边三角形 B.等腰三角形C.不等边三角形 D.直角三角形思路解析：由于 sinBsinC=cos2,A+B+C=π， 所以有-［cos(B+C)-cos(B-C)］=(1+cosA)，-［-cosA-cos(B-C)］=(1+cosA). 所以 cos(B-C)=1.又 B、C 为三角形内角，则必有 B-C=0. 故三角形为等腰三角形.答案：B妙解提示 本题也可以利用反代法，先验证等腰直角三角形，再验证正三角形即可得出正确结论.例 2 计算 sin69°-sin3°+sin39°-sin33°.思路分析：应用和差化积、两角和与差三角公式，二倍角公式，...
