高中数学 5.2 含有绝对值的不等式 5.2.2 含有绝对值的不等式的证明知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.2.2 含有绝对值的不等式的证明自主整理1.对于任意两个实数 a、b,设它们在数轴上的对应点分别为 A、B,那么|a-b|的几何意义是_____________________________________________,即线段 AB 的____________.2.绝对值不等式的性质.(1)|a+b|______________|a|+|b|,当且仅当______________时取“=”.(2)|a|-|b|______________|a+b|,当且仅当______________时取“=”.(3)|a-b|______________|a|+|b|,当且仅当______________时取“=”.(4)|a-b|______________|a|-|b|,当且仅当______________时取“=”.3.三个实数的绝对值不等式.|a-c|≤|a-b|+|b-c|,当且仅当______________时取“=”.高手笔记1.含有绝对值的不等式的性质定理推广:(1)|a1+a2+a3|≤|a1|+|a2|+|a3|;(2)|a1+a2+a3+…+an|≤|a1|+|a2|+…+|an|.2.在应用含有绝对值的不等式求某些函数的最值时,一定要注意等号成立的条件.名师解惑对绝对值不等式的几何意义的理解.剖析:绝对值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|的实质是两个实数的和、差的绝对值与绝对值的和、差的关系.用向量 a、b 替换实数 a、b 时,问题就从一维扩展到二维.当向量 a、b 不共线时,a+b、a、b 构成三角形,有|a+b|＜|a|+|b|.当向量 a、b 共线时,若 a、b 同向(相当于ab≥0),|a+b|=|a|+|b|;若 a、b 异向(相当于 ab＜0),|a+b|＜|a|+|b|.这些都是利用三角形的性质定理,如两边之和大于第三边等.这样处理,可以形象地描绘绝对值三角不等式,更易于记忆和利于定理的应用.绝对值三角不等式体现了“放缩法”的一种形式，但放缩的“尺度”还要仔细把握,如不等式|a|-|b|≤||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|也成立,因为|a|-|b|不一定是正数.讲练互动【例 1】若 a＜b＜0,则下列结论中正确的是( )A.不等式a1 ＞b1 和||1||1ba 均不成立B.不等式ba 1＞a1 和||1a＞||1b均不成立C.不等式ba 1＞ a1 和(a+ b1 )2＞(b+ a1 )2均不成立D.不等式||1a＞||1b和(a+b1 )2＞(b+a1 )2均不成立解析: a＜b＜0,∴ a1 ＞ b1 成立.1∴|a|＞|b|.∴||1a＜||1b,即||1a＞||1b不成立.故 A 错.由 a＜b＜0,得-b＞0,∴a-b＞a.又 a-b＜0,a＜0,∴ba 1＜ a1 ,即ba 1＞ a1 不成立.故 B 正确.由 a＜b＜0,得 b1 ＜ a1 ＜0,∴a+ b1 ＜b+ a1 ＜0.∴|a+ b1 |＞|b+ a1 |,即(a+ b1 )2＞(b+ a1 )2.故C、D 错.答案:B绿色通道 本题利用不等式的基本性质及绝对值的定义进行推导判断.变式训练1.设 ab＞0,下列四个不等式:...