高中数学 5.5 利用不等式求最大（小）值 5.5.1 利用平均不等式求最大（小）值知识导航学案 苏教版选修4-5-苏教版高二选修4-5数学学案

5.5.1 利用平均不等式求最大(小)值自主整理1.a、b∈R,则 a2+b2≥2ab,当且仅当_____________时取“=”.2.a、b∈R+,则2ba ≥ab ,当且仅当_____________时取“=”.3.a1,a2,…,an∈R+,则naaan21≥ nnaaa21,当且仅当_____________时取“=”.高手笔记1.已知和为定值,则乘积有最大值;已知乘积为定值,则和有最小值.2.函数取得最值必须等号成立,注意满足“正、定、等”三个条件.3.若平均不等式中等号取不到则考虑函数的单调性,利用单调性求得最值.4.注意在使用平均不等式时的变形技巧.名师解惑利用平均不等式求函数的最值应注意什么?剖析:利用平均不等式求某些函数的最值时应注意以下几点:(1)函数式中各项是否都是正数.都是正数可以用平均不等式,若都是负数,也可通过提取负号将括号里的数变为正数,再利用平均不等式.(2)函数式中含变量的各项的和或积必须是常数,即为定值,并且各项都相等时才能取“=”,求出最值.否则需由函数的单调性求出.(3)在求函数的最值时,要注意选择适当的不等式进行变形,即要考察是否满足“正、定、等”这三个条件,有时为了满足条件需要先变形、构造,在变形过程中,可采用拼凑法,使所拆、拼的数要相等,以使能够取到等号,在解决问题时,还要注意自变量的取值范围,考察能否取到等号.讲练互动【例 1】(1)已知 x< 45 ,求函数 y=4x-2+541x的最大值;(2)已知 x>0,y>0,且yx91 =1,求 x+y 的最小值.分析:本题可用平均不等式求最值,但在使用平均不等式时要注意条件,(1)中 x< 45 则 4x-5<0,可提取负号变为正值并构造积为定值,求出.(2)中yx91 =1 是和为定值,但与 x+y 之间的联系并不直接,可采用整体代换,或构造、代入等方法求出.解:(1) x< 45 ,∴4x-5<0.∴y=4x-2+541x=-［-(4x-5)+)54(1x］+3≤-2+3=1.当且仅当-(4x-5)=)54(1x,即(4x-5)2=1 时“=”能取到.1 x< 45 ,∴x=1 时,ymax=1.(2)方法一: x>0,y>0 且yx91 =1,∴x+y=(x+y)(yx91 )=10+yxxy9≥10+2yxxy9=16.当且仅当yxxy9且yx91 =1 时取“=”,∴x=4,y=12 时,x+y 最小为 16.方法二: yx91 =1,∴(x-1)(y-9)=9(定值)且 x>1,y>9.∴x+y=(x-1)+(y-9)+10≥)9)(1(2yx+10=16.当且仅当 x-1=y-9=3,即 x=4,y=12 时,(x+y)min=16.方法三: yx91 =1,∴x=9yy. x>0,y>0,∴y>9.代入 x+y,得 x+y=9yy+y=y+1+99y=(y-9)+99y+10≥99)9(2yy+10=16.当且仅当 y-9=99y>0,即 y=12,x=4 时,x+y 取最小值 16.绿...