第 1 课 立体几何初步由三视图求几何体的表面积与体积【例 1】 某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为( )A．1 B. C. D．2C [根据三视图，可知几何体的直观图为如图所示的四棱锥 V-ABCD，其中 VB⊥平面 ABCD，且底面 ABCD 是边长为 1 的正方形，VB＝1.所以四棱锥中最长棱为 VD.连接 BD，易知 BD＝，在 Rt△VBD 中，VD＝＝.]1．以三视图为载体的几何体的表面积问题，关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及数量．2．多面体的表面积是各个面的面积之和，组合体的表面积问题要注意衔接部分的处理．3．旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用．1．一个几何体的三视图如图所示，其中左视图与俯视图均为半径是 2 的圆，则这个几何体的体积是________．8π [由三视图知该几何体是半径为 2 的球被截去四分之一后剩下的几何体，则该几何体的体积 V＝×π×23×＝8π.]平行关系的判定和性质【例 2】 如图所示，斜三棱柱 ABCA1B1C1中，点 D，D1分别为 AC，A1C1上的点．(1)当等于何值时，BC1∥平面 AB1D1?(2)若平面 BC1D∥平面 AB1D1，求的值．[解] (1)如图所示，取 D1 为线段 A1C1 的中点，此时＝1.连接A1B，交 AB1 于点 O，连接 OD1.由棱柱的性质知，四边形 A1ABB1 为平行四边形，所以点 O 为 A1B 的中点．在△A1BC1 中，点 O，D1 分别为A1B，A1C1 的中点，所以 OD1∥BC1.又因为 OD1平面 AB1D1，BC1平面AB1D1，所以 BC1∥平面 AB1D1，所以当＝1 时，BC1∥平面 AB1D1.(2)由平面 BC1D∥平面 AB1D1，且平面 A1BC1∩平面 BC1D＝BC1，平面 A1BC1∩平面 AB1D1＝D1O，得 BC1∥D1O，所以＝，又由题可知＝，＝1，所以＝1，即＝1.1．证明线线平行的依据(1)平面几何法(常用的有三角形中位线、平行四边形对边平行)；(2)公理 4；(3)线面平行的性质定理；(4)面面平行的性质定理；(5)线面垂直的性质定理．2．证明线面平行的依据(1)定义；(2)线面平行的判定定理；(3)面面平行的性质定理．3．证明面面平行的依据(1)定义；(2)面面平行的判定定理；(3)线面垂直的性质定理；(4)面面平行的传递性．2.如图，在多面体 ABCDEF 中，四边形 ABCD 是正方形，AB＝2EF，EF∥AB，H 为 BC 的中点，求证：FH∥平面 EDB.[解] 连接 AC 交 BD 于点 G，则 G 为 AC 的中点．连接 EG，GH， H 为 BC 的中点，∴GH 綊 AB.又 EF 綊 AB，∴EF 綊 GH，∴四边形 EFHG ...
