7．2 柱、锥、台的体积学 习 目 标核 心 素 养1.理解棱柱、棱锥、棱台和圆柱、圆锥、圆台的体积公式．(重点)2.熟练运用体积公式求多面体和旋转体的体积．(难点)1.通过柱、锥、台的体积公式的学习提升直观想象素养.2.通过运用体积公式求多面体、旋转体的体积，提升数学运算素养. 柱、锥、台的体积几何体体积说明柱体V 柱体＝ShS 为柱体的底面积，h 为柱体的高锥体V 锥体＝ShS 为锥体的底面积，h 为锥体的高台体V 台体＝( S 上＋＋ S 下)· h S 上， S 下分别为台体的上、下底面积，h 为高思考：根据柱体、锥体、台体之间的关系，你能发现三者的体积公式之间的关系吗？提示：台体的体积公式为 V 台体＝(S′＋＋S)h.当 S′＝S 时，得柱体的体积公式 V 柱体＝Sh；当 S′＝0 时，得锥体的体积公式 V 锥体＝Sh.1．圆台上、下底面面积分别是 π，4π，侧面积是 6π，这个圆台的体积是( )A.π B．2πC.π D.πD [由已知，圆台上、下底面半径分别为 1 和 2，又 S 圆台侧＝π(1＋2)l＝6π，∴l＝2，∴高 h＝＝，∴V＝××(12＋22＋1×2)＝π.]2．直角三角形两直角边 AB＝3，AC＝4，以 AB 为轴旋转一周所得几何体的体积为( )A．12π B．16πC．20π D．24πB [旋转后的几何体为以 AC＝4 为底面半径，以 3 为高的圆锥，V＝πr2h＝π×42×3＝16π.]3．如图是一个几何体的三视图，若它的体积是 3，则 a＝________. [由三视图可知几何体为一个直三棱柱，底面三角形中边长为 2 的边上的高为 a，则 V＝3×＝3，所以 a＝.]4．高为 3 的三棱锥 PABC 底面是边长为 1 的正三角形，则三棱锥 PABC 的体积为________． [由已知三棱锥 PABC 的底面面积 S＝××1＝，∴VPABC＝××3＝.]柱体的体积问题【例 1】 已知直四棱柱的底面为菱形，两个对角面的面积分别为 2 cm2,2 cm2，侧棱长为 2 cm，求其体积．[解] 如图所示，设底面菱形的对角线 AC，BD 长分别为 x cm，y cm，又该棱柱是直棱柱，两个对角面都是矩形，故有解得底面菱形的面积 S＝xy＝(cm2)，所以该棱柱的体积为 V＝Sh＝×2＝(cm3)．求柱体的体积关键是求底面积和高，而底面积的求解要根据平面图形的性质灵活处理 .熟记常见平面图形的面积的求法是解决此类问题的关键.1．一个正方体的底面积和一个圆柱的底面积相等，且侧面积也相等，求正方体和圆柱的体积之比．[解] 设正方体边长为 a，圆柱高为 h，底面半径为 ...
